Si on ajoute 2011 à mon nombre premier palindrome, on obtient une somme, qui est elle aussi un palindrome. Je précise que je suis en base 10.

Et pour rappel, un nombre palindrome est un nombre qui se lit indifféremment de gauche à droite, ou de droite à gauche. Comme 1, 11, 1001, 77377, ou 314151413.

@Psycho:
Mon nb secret ne peut pas être 101...
car 101+2011=2112 : 101 et 2112 sont bien des nb palindromes,
mais la somme des chiffres de 101 est 1+0+1=2.
Or, 2 n'est pas un carré parfait

Je vous souhaite bon courage pour cette tite énigme !

Bravo NickoGecko, tout bien !

Après avoir tâtonner avec quelques valeurs au hasard, un peu de méthode est nécessaire.

Un premier palindrome - palindromic prime aka palprime - contient un nombre impair de chiffres sauf 11.

aba ?

  2   0    1    1
+     a    b    a
------
= 2   a   1+b  a+1

=> a=1, b=0 mais la somme des chiffres n'est pas un carre

abcba ?

     2  0  1   1
+ a  b  c  b   a
------
= a b+2 c b+1 a+1

b(+1)+2+>9 donc b(+1)>7

b=7?
les retenues ne s’enchaînent pas.

b=8?
a+1/0/c/9/a+1 non

b=9?
a+1/1/c+1/0/a+1 non plus


abcdcba ?

           2  0  1   1
+ a  b  c  d  c  b   a
------
= a  b  c  d+2 c b+1 a+1

d(+1)>7
c=9
b=9
ce qui donne (a+1) 0 0 0/1/2 0 0 (a+1)
on a donc
a99(7/8/9)99a
la somme doit faire 49 donc 2a=13-7/8/9 => a=3ou2 => a=3
3997993 est-il premier ? Oui !

     2011
+ 3997993
= 4000004

Ceci est l'unique solution avec 7 chiffres.

9 chiffres ou plus ?
abcdedcba ?

                 2  0  1   1
+ a  b  c  d  e  d  c  b   a
------
= a  b  c  d  e  d+2 c b+1 a+1

Il est clair que le premier 'd' ne peut pas recevoir deux retenues, il n'y a donc pas de solution avec 9 chiffres ou d'avantage. La solution à cette énigme est donc unique.

Divertissant.

Les palindromes premiers ont un nombre impair de chiffres sauf 11.
En effet, un palindrome à nombre pair de chiffres est toujours divisible par 11.
On vérifie rapidement que les nombres premiers à 1 chiffre et 11 ne sont pas solutions.

On attaque donc avec 3 chiffres:

 2011
+ xyx
------

S'il n'y a pas de retenue du 3ème chiffre vers le 4ème, x doit valoir 1. Et on vérifie facilement qu'il n'y a pas de solution.
S'il y a une retenue, x doit valoir 2, ce qui est impossible (le nombre à 3 chiffres n'est pas premier).

On passe à 5 chiffres:

  2011
+xyzyx
------

S'il n'y a pas de retenue du 4ème chiffre vers le 5ème, le résultat commence par x et finit par x+1 et n'est donc pas palindrome.
Il faut donc une retenue donc y vaut au moins 8 et z 9.
On regarde donc les nombres x898x et x999x. Il y en a peu et aucun n'est solution.

On passe à 7 chiffres:

    2011
+xyztzyx
--------

Pour la même raison, une retenue est indispensable du 6ème vers le 7ème chiffre.
Cela impose y=z=9 et donc le nombre est de la forme:
x99t99x avec t = 7, 8 ou 9.

Le premier de cette forme est: 1998991
On a 1998991+2011=2001002.
Il reste à vérifier que la somme des chiffres est un carré parfait, ce qui n'est pas le cas :-(
On continue donc:

Le suivant est 3997993: 3997993+2011=4000004 dont la somme des chiffres n'est pas un carré parfait.

Le suivant est 3998993: 3998993+2011=4001004, dont la somme des chiffres est 9, un carré parfait.

La solution est donc: 3998993

Le plus dur a été de trouver une liste des premiers palindromes: http://oeis.org/A002385/b002385.txt

Merci pour cette énigme.

Edit: TiLapiot me fait remarquer que la somme des chiffres qui doit être un carré est celle du nombre lui-même et pas de la somme.
En reprenant les étapes ci-dessus, je trouve donc que la solution est 3997993 dont la somme des chiffres vaut 49.

Bonjour TiLapiot,
J'ai écrit un bout de programme pour tester tous les nombres inférieurs à 100 000 répondant aux 3 critères et je n'en ai pas trouvé. Donc, soit ce nombre est supérieur à 100 000, soit je me suis planté dans mon programme. Laquelle des 2 affirmations est vraie ?
Merci et bonne journée.
Frank

Encore trois belles réponses de Gwen27, Scarta et Rivas :
let's welcome to the podium !


@Franky1103: encore un (gros) peu, et tu y seras aussi !
(faites-lui de la place, les autres)

Déjà fini...?! Huh???
Mais non, Nodgim!
Je te confirme qu'il reste ~95h...

Spoiler : [Afficher le message] Enfin, je dis ça, c'est clair que je n'ai pas de honte de plancher sur de vieilles énigmes, genre achevées depuis 2008 !
Y a de belles prises de tête dans les archives, cf premières pages de nos rubriques chéries, et certains de mes brouillons ici en témoignent.
C clair, on les aura, les cheveux blancs

Salut !

Bon, ce serait trop long à expliquer, il est déjà tard mais j'ai trouvé 1.997.991 :
si on ajoute on obtient 2.000.002, dont la somme des chiffres fait 4, carré parfait !

Une bien belle entrée en matière pour Algao ! Bienvenue et bravo

Golgot59 et sangokussj5 : hélas non, mais il vous reste encore beaucoup de temps.

Bonjour TiLapiot,
A la suite de mon message précédent, j'ai inutilement poussé mon bout de programme pour tester tous les nombres inférieurs à 1 000 000. Il semble qu'une troisième affirmation soit vraie: ce nombre cherché n'existe pas.
En effet, un nombre premier palindrome a forcément un nombre de chiffres impair (dans le cas contraire, ce nombre serait divisible par 11 et donc non premier).
Avec 1 seul chiffre, ce nombre n'existe pas: c'est assez facile à vérifier.
Avec 3 chiffres, "101" aurait pas marcher, mais il ne satisfait pas au 3è critère.
Avec 5 chiffres, on aurait (A)(B)(C)(B)(A) + 2011 = (A)(B+2)(C)(B+1)(A+1) aux retenues près: sans retenue A=A+1 impossible dans N et avec retenue A=9 donnant A+1=10 impossible pour la suite.
Donc au final, il n'y a pas de solution.
Bonne journée.
Frank

► Encore deux réponses exactes...!
Bravo à eux, et une poignée d'heures pour les autres...