Les différentes figures correspondent à la valeur N = 5. On étendra aisément les différents concepts aux valeurs N = 6 et N = 7.



On s'aperçoit que pour ces 3 valeurs, l'introduction d'un cercle de découpe contenant une part est plus avantageux que le cas de la découpe simplement radiale, mais que le remplacement de ce cercle par un polygone régulier à N-1 cotés est encore nettement plus avantageux .

Il reste à montrer que, lorsque l'on fait varier le rayon r d'une valeur positive (cas 2) à une valeur négative (cas 4) en le faisant tendre vers l'infini (cas 3), le minimum de la longueur L est bien atteint pour le cas limite où l'arc de cercle est dégénéré en segment. Ce qui n'est pas forcément le cas , mais les calculs deviennent un peu trop compliqués pour ma pauvre cercelle .

Je continue à penser que le temps imparti pour résoudre ces différents problèmes de découpe de pizzas est nettement trop court, et qu'il aurait été plus judicieux de les égrener un à un à partir du 5ème.
Ces problèmes sont effectivement très intéressants pour un matheux (ce que je ne suis pas beaucoup) mais tu risques, faute de temps, de n'avoir que très peu de réponses. Dommage...

Pour la pizza 5 parts, je vais proposer ce découpage:


Un carré central de 1585.330919 mm de côté.
Périmètre du carré: 4 * 1585.330919 mm = 6341.323676 mm
La longueur de chacune des 4 découpes partant d'une angle du carré et joignant le bord de la pizza est égale au rayon de la pizza moins la moitié de la diagonale du carré. Cela nous donne 4 * 879.0017567 mm = 3516.007027 mm
Longueur totale de la découpe: 9857.330703 mm


Pour la pizza 6 parts:


Un cercle central de 816.4965809 mm de rayon.
Périmètre du cercle central: 5130.199321 mm
La longueur de chacune des 5 découpes partant du cercle central et joignant le bord de la pizza est égale au rayon de la pizza moins le rayon du cercle central. Cela nous donne 5 * 1183.503419 mm = 5917.517095 mm
Longueur totale de la découpe: 11047.71642 mm

Pour la pizza 7 parts:


Un cercle central de 755.928946 mm de rayon.
Périmètre du cercle central: 4749.641647 mm
La longueur de chacune des 6 découpes partant du cercle central et joignant le bord de la pizza est égale au rayon de la pizza moins le rayon du cercle central. Cela nous donne 6 * 1244.071054 mm = 7464.426324 mm
Longueur totale de la découpe: 12214.06797 mm

On l'aura compris, j'ai opté pour la pizza à l'ananas

Mais, comment être sûr que ces solutions sont vraiment optimales ? Par exemple, dans le cas des 7 parts, pourquoi une solution avec 2 ou 3 parts centrales ne seraient pas plus "rentables" ? Peut-on le démontrer "mathématiquement" ?

Je suis trop endormi pour faire le calcul aujourd'hui, mais il faudrait essayer une forme comme la 4 de Jack, mais avec des cercles de très grand diamètre, tendant donc vers des lignes comme dans la 3. J'ai l'intuition que ce serait mieux, mais de là à faire le calcul... Un autre jour si personne ne s'est dévoué

en même temps c'est logique : imagine un univers en 2D, les découpes sont des fils élastiques (tous à la même tension), et les parts sont remplies de fluide incompressibles. Le résultat doit être stable.
Je me comprends, mais si tu vois ce que je veux dire, ca donne ce résultat.