On me demande:
"il a toujours la même vitesse, mais a t-il toujours le même sens?"
La réponse est oui, en fait la vitesse est donnée algébriquement, elle contient le sens, par exemple une vitesse de -5 veut dire qu'à chaque pas de temps il recule vers -inf.

La trajectoire du mobile est donnée par (P,V) € Z x Z, où P est la position au temps 0 et V le pas.

Il existe une bijection de N vers Z x Z, donc pour chaque trajectoire donnée (P,V), il existe un temps n que l'on peut associer à (P,V), en tirant sur le point de coordonnée P+nV, on dézinguera le mobile.

S'il part d'un entier et se déplace d'un irrationnel a chaque pas de temps, tu es foutu. Il n'y a donc pas de stratégie universelle, a mon sens.

Si la position initiale [latex]u_0[/latex] est connue, on peut facilement trouver la raison q de la suite arithmétique du mobile ([latex]u_n=u_0+q.n[/latex])
Il suffit à chaque instant n de viser l'entier suivant :
[TeX]v_n=u_0+(-1)^{n+1}n\lfloor{\frac{n+1}2}\rfloor[/TeX]
[TeX]v_0=u_0
v_1=u_0+1
v_2=u_0-2
v_3=u_0+6
v_4=u_0-8
v_5=u_0+15[/TeX]
...
Ainsi au bout de n=2q-1 pas de temps (ou -2q si q < 0), on aura
[TeX]v_n=u_n[/TeX]
Mais si la position initiale est inconnue, je ne vois pas trop comment on peut y arriver

Le mouvement du mobile est déterminé par un couple [latex](p,v)[/latex] qui détermine une trajectoire telle que la position à l'instant [latex]k[/latex] est [latex] p+v.k[/latex].

L'ensemble de ces couples est précisément  [latex]\mathbb{Z}^2[/latex].

[latex]\mathbb{Z}^2[/latex] étant dénombrable, pour tout entier [latex]k[/latex] on peut poser [latex]c(k) =[/latex] le [latex]k[/latex]-ième couple de [latex]\mathbb{Z}^2[/latex], et on note [latex]c(k) = (p(k),v(k))[/latex].

Supposons que le mobile suive la trajectoire [latex](p,v)[/latex] et que [latex](p,v)[/latex] soit le [latex]k[/latex]-ième couple de[latex] \mathbb{Z}^2[/latex] (et donc [latex](p,v)=c(k)[/latex]), alors en tirant à l'instant [latex]k[/latex] sur l'entier relatif où serait le mobile si son mouvement était animé par le couple [latex]c(k)[/latex], c'est-à-dire en [latex]p(k)+v(k).k[/latex] on est sûr de le dézinguer...

Bref, il suffit à chaque instant [latex]k[/latex] de viser l'entier où serait le mobile s'il suivait la trajectoire [latex]c(k)[/latex], on dégomme le mobile s'il est sur la trajectoire numéro [latex]k[/latex]... et bing !

Ca marcherait aussi bien si la position de départ et/ou la vitesse étaient des rationnels (car [latex]\mathbb{Q}^2[/latex] est dénombrable aussi) mais pas si l'un des deux pouvait prendre ses valeurs dans [latex]\mathbb{R}[/latex].

Sympa comme problème illustrant la différence dénombrable/non dénombrable

Je range ton énigme dans mon p'tit carnet d'ailleurs ;-)

Voila voila, beaucoup de bonnes réponses ^^ je n'ai donc rien à ajouter.
La réponse la plus claire est sans doute celle de Gazole.
Bravo à tout le monde.