[edit : oui j'avais mis l'aire de la demie part en m'emmélant les couteaux...et effectivement j'aurais du m'en apercevoir en testant [latex]\theta\rightarrow 0[/latex], mais je me suis dis que [latex]x=a/2[/latex] était bon, alors que pas du tout... est-ce que c'est bon maintenant ?]

si je note [latex]\theta[/latex] le demi angle de la pizza, j'ai :
[TeX]a \sin \theta = \frac{b}{2}[/TeX]
donc
[TeX]\theta = \arcsin\left(\frac{b}{2 a}\right)[/TeX]
et les aires sont égales si
[TeX]x^2 \cos \theta \sin \theta =\frac{1}{2}\frac{2\theta}{2\pi}\pi a^2=\frac{ \theta a^2}{2}[/TeX]
ie si
[TeX]x^2 \cos \theta \frac{b}{2a} =\frac{ \theta a^2}{2}[/TeX]
ou sinon en "simplifiant" avec l'identité trigonometrique cela donne :
[TeX]x^2 \sin2\theta = \theta a^2[/TeX]
au final, [latex]x = a \sqrt{\frac{\theta}{2\cos\theta\frac{b}{2a}}} = a \sqrt{\frac{a\arcsin\left(\frac{b}{2 a}\right)}{b\cos \left(\arcsin\left(\frac{b}{2 a}\right)\right)}}[/latex]

ou bien [latex]x = a \sqrt{\frac{\theta}{\sin2\theta}} = a\sqrt{\frac{\arcsin\left(\frac{b}{2 a}\right)}{\sin \left(2\arcsin\left(\frac{b}{2 a}\right)\right)}}[/latex]

c'est moche mais ca donne le résultat, à condition de garder un angle pas trop grand...

Bonjour

Notons  [latex] \theta [/latex] l'ouverture angulaire de la part de pizza

On a alors [latex] \sin(\frac \theta2) = \frac {b/2}a = \frac b{2a} [/latex]

Soit [latex] \theta = 2 arcsin( \frac b{2a})[/latex]

Soit [latex]S[/latex] la surface de cette part de pizza, [latex]a[/latex] étant le rayon du secteur angulaire
[TeX] S = \frac \theta2 a^2[/TeX]
On veut donc trouver [latex]x[/latex] tel que la surface du bout "pointu" jusqu'au trait bleu vale [latex]\frac S2[/latex]

La surface du "bout pointu" est [latex]x\sin(\frac \theta2)*x\cos(\frac \theta2) [/latex]
soit [latex]x^2(\frac {sin\theta}2)[/latex]

on veut donc [latex]x^2(\frac {sin\theta}2) = \frac \theta4 a^2[/latex]



soit  [latex]x=\sqrt{\frac {\theta a^2}{2sin(\theta)}}[/latex]

La formule est définie pour [latex] \theta \in]0; \pi[ [/latex] ce qui est en relation avec le domaine de validité de la question.
avec [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex], on détermine [latex]\theta[/latex] avec la formule de départ [latex] \theta = 2 arcsin( \frac b{2a})[/latex]

> Une application numérique avec  [latex]a = 1[/latex] et [latex]\theta = \frac \pi4[/latex] (proche de l'énoncé)
donne [latex]x = 0.745[/latex]  ce qui concorde ...

[latex]S = 0.393[/latex] et [latex]\frac S2 = 0.196 [/latex]


C'est mon premier post avec des formules LaTex !

edit : Mise en forme de la formule complète, [latex]x[/latex] exprimé avec [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] seulement en faisant disparaître [latex]\theta[/latex] :

\theta = {2 arcsin( \frac b{2a})}

[latex]x=\sqrt{\frac {({arcsin( \frac b{2a}))} a^2}{sin({2 arcsin( \frac b{2a})})}}[/latex]

et comme [latex] sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha) [/latex]
[TeX] sin({2 arcsin( \frac b{2a})}) = 2sin({arcsin( \frac b{2a})})cos({arcsin( \frac b{2a})})[/TeX]
i.e : [latex] sin({2 arcsin( \frac b{2a})}) = ( \frac ba)cos({arcsin( \frac b{2a})})[/latex]

d'où : [latex]x=\sqrt{\frac {a^3arcsin( \frac b{2a})}{bcos({arcsin( \frac b{2a})}}[/latex]

et effectivement comme  [latex] cos(arcsin( \alpha)) = \sqrt{1-\alpha^2}[/latex]
On a :

[latex]x=\sqrt{\frac {{a^3arcsin( \frac b{2a})}}{b \sqrt{1-( \frac b{2a})^2}}[/latex]

[latex]x=\sqrt{\frac {2a^4 arcsin( \frac b{2a})} {b \sqrt{4a^2-b^2}[/latex]

[latex]x=a^2\sqrt{\frac {2arcsin( \frac b{2a})} {b \sqrt{4a^2-b^2}[/latex]

(l'A.N. est vérifiée par cette dernière expression)

Tu es tout pardonné

Vu les données j'ai bien peur que la construction soit très approximative même en ajoutant un compas et un rapporteur à la liste d'intruments

Vasimolo

Je note [latex]\alpha[/latex] le DEMI-ANGLE de la pointe de la pizza, c la longueur du segment bleu (la ligne de coupe) et d la longueur entre la pointe de la pizza et la ligne bleue.

Commençons:
La surface totale de la part est [latex]\alpha.a^2 [/latex] (par définition,  [latex]\alpha[/latex] est le DEMI-angle)

La surface de la pointe est [latex]\dfrac{c.d}{2}[/latex]. On cherche donc x tel que [latex]\dfrac{c.d}{2}=\dfrac{\alpha.a^2}{2} (E)[/latex]

On a: [latex]\dfrac{b}{2a}=\dfrac{c}{2x}=sin(\alpha)[/latex]
Donc [latex]c=2x.sin(\alpha)[/latex]

D'autre part, [latex]d=x.cos(\alpha)[/latex]

Donc [latex]c.d=2x^2.sin(\alpha)cos(\alpha)=x^2.sin(2\alpha)[/latex]

(E) <=> [latex]x^2.sin(2\alpha)=\alpha.a^2[/latex]
     <=> [latex]x^2=\dfrac{a^2}{2}.\dfrac{2\alpha}{sin(2\alpha)}[/latex]

Il reste à noter que x et a sont positifs, que [latex]2\alpha[/latex] et [latex]sin(2\alpha)[/latex] sont positifs pour [latex]\alpha[/latex] dans l'intervalle [latex][0,\dfrac{\pi}{2}][/latex]. On peut donc passer à la racine carrée positive.

En notant [latex]\theta=2\alpha[/latex],  l'angle de la pointe, on obtient finalement:
[TeX]x=a.\sqrt{\dfrac{\theta}{2.sin(\theta)}}[/TeX]
Si on ne veut exprimer la réponse qu'en terme de a et b, [latex]\theta=2.arcsin(\dfrac{b}{2a})[/latex]

Voila, voila, c'était sympa, surtout d'essayer de donner la réponse la plus "compacte" (mais tout en latex, c'est un peu laborieux ).

Bonsoir a tous,
bravo a ce qui ont participé,
on a donc une bonne reponse de rivas, Nickegecko, et khyros

il est vrai que la réponse n'etait pas simple (c'est fou ce qu'on peut se prendre la tete sur un part de pizza)
Le découpage n'était pas si aisé.
pour la prochaine, j'essairai d'avoir un resultat un peu plus sympathique. (c'est ma seconde, j'y vais a taton) pour un découpage sans accroc comme dit vasimolo

A bientot
One_handred

Ahah foui, j'me suis planté comme un bleu sur l'angle, en fait <3
Je trouve donc la même chose que vous après vérification.

Pour ce qui est de la limite en 0, donc a / sqrt(2) je crois, je vois pas bien intuitivement à quoi ça correspond. J'aurais pensé que ça donnerait du (2/3)*a comme pour le centre de gravité puisque quand l'angle tend vers 0 ça s'assimile à un simple triangle.

Mais pour l'angle qui dépasse Pi/2 en tout cas on a pas résolu le problème, et donc la limite en Pi ne signifie rien, puisque la section peut se faire en coupant de la croute pour avoir 2 moitiés égales, alors que là on a calculé la section comme étant l'aire d'un triangle.

Merci pour ton indulgence sur l'erreur
A propos des limites en 0 et pi: la limite en 0 [latex]\dfrac{a}{\sqrt(2)}[/latex] me semble finalement logique. Lorsque [latex]\theta[/latex] tend vers 0, le problème devient équivalent à partager un triangle isocèle (on néglige la croute).

Pour la limite en pi, le problème ne se pose en fait pas car le partage devient impossible bien avant qu'on atteigne l'angle pi. En effet la part de croute devient trop grosse pour que la partie pointue, même prise en totalité, puisse représenter la même surface. pi est donc en dehors de l'espace de définition du problème.