@masab: C'est exact, chaque morceau est un nuage de point pour lequel la notion de volume n'a pas de sens. Ce qui n'empêche pas la propriété d'être assez extraordinaire et terriblement contre intuitive .

Monstre 2: La loi de Benford
Un petit monstre mais également très contre intuitif.
Imaginez que vous construisiez une immense base de donnée de mesures de toute sorte. (En base 10 comme on a l'habitude de compter) vous y notez un peu tout et n'importe quoi, la longueur des objets de votre bureau en kilomètres si ca vous fait plaisir, la température des planètes du système solaire, la vitesse d'écoulement de l'eau dans chaque cour d'eau de France etc...  Un gros tas de mesures variées dans des unités totalement arbitraires et diverses.
Ensuite vous les classez par premier chiffre significatif, (ce qui fait donc 9 possibilités), il est naturel de s'attendre à trouver 11% de chaque n'est ce pas, étant donné le caractère totalement aléatoire du protocole, et bien non, un phénomène étonnant se produit vous aurez autour de 30% de premier chiffre significatif 1 et 5% de premier chiffre significatif 9, le pourcentage baissant plus le chiffre significatif considéré est grand.

Éléments de démonstration:
La démonstration de celui ci est assez bluffante tellement c'est "évident", en fait lorsque vous avez constitué votre base de donnée de mesure il n'y a pas une seule source d'aléatoire, il n'y a pas que les grandeurs qui soient choisies au hasard mais également l'unité de mesure qui évidemment change tout. Donc imaginez pour simplifier les choses qu'on ait que des données dans la même unité, l'intuition nous dit qu'on devrait trouver 11% de chaque type de premier chiffre significatif, et cette intuition devrait encore être vraie si on changeait l'unité de toute nos mesures. Mais avec 11% de chaque le changement d'unité bouleverserait absolument toute notre statistique, car cette distribution n'est pas "scale invariant" elle dépend de l'unité de mesure, et ce qu'on vient de démontrer c'est que s'il y a une distribution récurrente ca ne peut pas être 11% etc...  En fait la seule distribution qui convienne est une sorte de distribution logarithmique.

Il y a des gens qui lisent mes délires avec intérêts? qui apprennent des trucs?

Monstre 4: Sphere eversion.
Tout est expliqué dans cette vidéo très bien faite (les 2 premières minutes suffisent a exposer le problème le reste explique):



Cette autre vidéo montre une transformation mécaniquement plus simple mais peut être plus dure à visualiser:

En espérant que quelqu'un le lira,
que celui ci le comprendra et aura appris quelque chose,
et que ca lui plaira...

Monstre 5: La théorie des ensembles

La théorie des ensembles, et oui tous le monde pense savoir ce que c'est et pourtant très peu de gens ont compris la portée de la chose. Oui la théorie des ensembles c'est exactement ce que vous imaginez, des objets mathématiques qui peuvent "contenir" d'autre objets mathématique, avec les opérations d'union d'ensemble, d'intersection etc... les fameux "pour tout" et "il existe" etc...
Mais lorsqu'on sait cela et uniquement cela, on a absolument rien vu de ce en quoi c'est révolutionnaire. Alors je propose ici de tenter de l'expliquer.

Un ensemble en mathématique c'est en partie ce qu'on vient de dire, quelque chose qui peut "contenir" d'autre chose, et comme notre but ici est de définir le minimum, ces autres choses seront également des ensembles.
On définit les ensembles par plusieurs propriétés qu'on admet vraies par définition, on appelle ceci des axiomes. Pour définir quelque chose on revendique généralement son "existence" et c'est ainsi que sont construit les axiomes de la théorie des ensembles:
Par exemple:
Axiome de la réunion: Pour tout ensemble X, il existe un ensemble R dont les éléments sont précisément ceux des éléments de X et eux seuls.
Ce qu'il faut retenir de cet exemple c'est qu'avec cet axiome qu'on revendique vrai on définit à la fois un peu le monde des ensembles, en décrivant une de leur propriété, mais également ce qu'on nomme l'union et l'appartenance dans cet univers. Avec d'autres mots, les termes s'auto-définissent.

Pour construire le monde couramment utilisé des ensembles on a au total besoin d'une dizaine d'axiome. Avec avec eux on définit ce qu'est un ensemble, a travers les propriétés qu'il entretient avec ces camarades.

L'intérêt du monde des ensembles est qu'il est suffisamment souple pour représenter tout objet des mathématiques modernes, avec cette phrase j'ai déjà tout dit mais pour le lecteur manquera sans doute le Eureka, alors un exemple:
-mettons l'étiquette "0" sur l'ensemble vide. (Un ensemble particulier dont on clame l'existence/qu'on a défini via les axiomes de notre théorie)
-mettons l'étiquette "1" sur l'ensemble des parties de l'ensemble vide (dont on clame également l'existence/qu'on a défini via les axiomes de notre théorie)
-mettons l'étiquette "2" sur l'ensemble des parties de l'ensemble étiqueté 1...
etc... pour chaque entier.
Jusque la rien de dingue on a simplement et de manière arbitraire établit une correspondance entre nos entiers et des ensembles. Tentons plus compliqué, représenter une fonction avec un ensemble. Un fonction n'est rien de plus que l'ensemble de ses couples antécédent/image. L'astuce pour noter le couple (a,b) avec un ensemble ou il n'y a pas de notion d'ordre c'est {a,{a,b}}
Prenons  la fonction qui va des entiers dans les entier et qui a x associe sont carré (x->x^2).
{
{1,{1,1}}
{2,{2,4}}
{3,{3,9}}
...
}
Et comme on a déjà représenté chaque entier avec des ensembles on pourrait remplacer dans ceci les "1" ou les "9" etc par ce qu'on a déjà construit et bien avoir une structure constitué uniquement à base d'ensembles.
L'opérateur + n'est rien d'autre qu'une fonction ZxZ->Z donc de la même manière on pourrait très bien le construire en vision purement ensembliste.

La correspondance entre concept et ensemble est arbitraire, mais on peut toujours en choisir une utilisable et naturelle comme ci dessus. Tous les objets conceptuels logiques que ca soit l'opérateur x ou intégrale, ou un "triangle", ou une suite d'entier, ou la fonction sinus, sont facilement "mappable" sur des ensembles. Ce ne sont que des étiquettes qu'on a choisit de poser arbitrairement sur certains d'entre eux.

L'intérêt des objets en mathématique ce ne sont pas ce qu'ils sont de manière isolé mais les propriétés qui les relie l'un à l'autre. Le théorème de Pythagore par exemple est une propriété d'un triangle relié avec nos notion de longueur et de réels etc...
La folie en fait c'est que lorsqu'on a mappé nos concepts usuels a des ensembles, alors rien qu'avec les axiome de cette théorie, les ensembles, traduction de nos concepts, vont se comporter entre eux comme leur homologues. Autrement dit, le théorème de Pythagore que je viens de citer, une fois tous les concepts construit en tant qu'ensembles vous pouvez
le démontrer en avec uniquement la dizaine d'axiome de la théorie.
Bien sur ca serait une démonstration extrêmement longue mais le point important n'est pas de la faire, simplement savoir qu'on peut, on a trouvé un formalisme extrêmement concis (une dizaine d'axiomes), qui permet de représenter tout concept et de modéliser tout raisonnement connus des mathématiques. Comme mon but est de faire "tilter" le lecteur, je le redis encore une fois, quelque soient les concepts en mathématiques que vous ayez manipuler entre votre CP et votre bac ou votre prepas, ils sont représentables
par des ensembles et les propriété qui relient ces représentations avec uniquement la dizaine d'axiomes ensemblistes sont les mêmes que celles de leur homologues.

Et c'est ceci la révolution, comment aurait-on pu imaginer que quelque chose d'aussi libre que nos abstractions de tout genre et démonstrations puissent être mathématisé avec les mêmes et très peu de briques de bases? ZFC est sans doute l'une des plus grande prise de conscience de mathématiques modernes, arrivé à un stade ou les mathématiques sont parvenues à modéliser
les mathématiques...

Et ca a ouvert la voie à pas mal de découvertes monstrueuses...

Et certainement une bien plus grande infinité

- Dire que la théorie des ensembles génère des monstres c’est prendre le problème à l’envers : cette théorie a justement été créée pour tordre le cou aux multiples paradoxes qui décrédibilisaient les mathématiques.
...
Les monstres ne sont pas forcément générés par la théorie , ils existent par eux même

C'est à cause du titre du topic? en tout cas ce n'est pas ce que je voulais dire alors, je suis parfaitement d'accord avec toi. Pour moi "monstre" n'était pas du tout péjoratif et ils existent par eux même, oui, c'est juste que dans un cadre nettoyé on a réussi à les trouver la ou avant ils se cachaient. Je parlerais bientot d'incomplétude de Godel (ce qui est sans doute ce à quoi tu faisais allusion, ou du même genre, lorsque tu dis que les axiomes ne font pas tout)

Monstre 6: Prévoir le hasard.

Imaginez une infinité de boites numérotées, avec dans chacune, un nombre entier choisi totalement arbitrairement. Vous avez le droit d'ouvrir les boites de votre choix, y compris une infinité, pour y découvrir l'entier caché, mais vous devez laisser au moins une boite pour laquelle avant son ouverture vous ferez une prédiction sur son contenu. Un protocole qui semble bien loufoque n'est ce pas? comme si on pouvait prédire le hasard... He bien l'un des plus beau paradoxe que j'ai vu est qu'on peut pourtant trouver un protocole pour prédire le contenu de notre boite avec un niveau de certitude arbitrairement grand. (ie: si vous désirez avoir juste pour votre prédiction dans 9 cas sur 10  ou 99 cas sur 100 vous pouvez...)
Évidemment, ceci nécessite des capacités exotiques, comme mémoriser une infinité non dénombrable de certaines choses, mais ca n'en reste pas moins extrêmement étrange de pouvoir prédire le hasard en consultant des variables sans rapport théorique entres elles....
Pour rendre à César ce qui lui appartient je propose une adaptation plus ludique du même paradoxe:
http://www.madore.org/~david/weblog/200 … 05-16.1643
"Le docteur No continue ses méfaits"

Je connaissais ce sujet et il s'agît plus d'une vue de l'esprit que d'un véritable problème . D'un autre côté c'est en poussant les maths à leurs limites qu'on comprend pourquoi elle ne représenteront jamais vraiment notre quotidien ( ce n'est d'ailleurs pas son objectif ) .

Quelqu'un a déjà vu un point , une droite ou un cercle ( je rappelle que tous ces objets n'ont pas d'épaisseur ) ?

Vasimolo

@Shadock:

Peut-on parler de volume? Parce que 1=1+1 je ne voudrai contrarier personne mais c'est faux.

Ce qui est beau c'est que la notion de volume ne pose pas de probleme. Les "parties" de notre découpage de boules, sont des nuages de points, et assez exotiques. (Aussi exotique que de dire "je considère les irrationnels du segment [0,1]) Par conséquent on découpe notre sphère de volume V avec nos parties bizarres pour lesquelles la notion de volume n'a pas de sens indépendamment sur chacune d'entre-elles (ie: c'est quoi la longueur des irrationnels du segment [0,1]? -> pareil, pas de sens). Et on les re-assemble d'une nouvelle manière pour former les deux sphères de volume 2xV. Sans avoir eu d'incohérence au niveau de cette notion.  Relis bien mes "éléments de démonstration" tu verras c'est moins dingue qu'on imagine, ca vient principalement du fait que R^3 est infiniment divisible.

Moi j'aime bien le Théorème de Hausdorff :

La sphère unité peut être décomposée en quatre parties isométriques A, B, C, D avec D également isométrique à AuB.(D est donc à la fois le quart et le tiers de la sphère).

Choquant non?

Shadock