Je dirais 21, car si 10^n-1 est le plus grand nombre à n chiffres, il faut s'assurer que 9^n fait bien n chiffres. C'est le cas jusqu'à 21, 9^22 ne fait que 21 chiffres, et pour tout k > 22, 9^k = 9^22 * 9^(k-22) < 10^21 * 10^(k-22) < 10^(k-1) et 10^(k-1) est le plus petit nombre à k chiffres

On notera tout d'abord que 10^N s'ecrit avec N+1 chiffres.
le plus grand entier est donc 9

9^N=X avec X entre [latex]10^{N-1}<X<10^N[/latex]
avec les log on obtient [latex]\frac{N-1}{N}<\frac{ln(10)}{ln(9)}[/latex]

ce qui donne N=21 plus grand nombre expo-numérique

On sait que 10^1=10 (nombre a deux chiffres)
De même, si p>0, p entier, alors 10^p aura p+1 chiffres

Au lieu de prendre 10, il suffit de prendre 9. On a alors : 9^2=81 (2 chiffres)
9^3=729 (3 chiffres)

Tant que ça marche, je poursuis :
9^9=387420489 (9 chiffres)

Continuons :
9^19=1350851717672992089 (19 chiffres)

La suite s'arrête avec 21 car 9^21=109418989131512359209 (il a 21 chiffres)

Ensuite, 9^22 n'a que 21 chiffres.
Le plus grand nombre expo-numérique serait-il 21...?

Je trouve 21.
Bien entendu, pour un a^n, a<10 car sinon a^n aura + de n chiffres.

Il faut a^n<=10^(n-1)
......
n/(n-1)>=ln10/lna
.....
Max pour ln9.
n/(n-1)>=1.047
n<22.

21 car 9^21=109418989131512359209
Au delà, on a un écart qui ne sera pas comblé par une multiplication par 9.

Et il n'est pas utile de tester les puissances pour un nombre supérieur ou égal à 10

Que de bonnes réponses jusqu'à présent. Merci pour votre participation.

Il y a une petite faille de "raisonnement" dans certaines réponses que je souhaite signaler dans un but pédagogique essentiellement pour ceux qui liront les réponses, leurs auteurs étant largement assez compétents pour ne pas en avoir besoin, je pense que c'est plus un oubli qu'une vraie erreur de raisonnement.

Lorsque l'on travaille par condition nécessaire (=>, il faut que), il est nécessaire de vérifier à la fin que la condition que l'on a trouvée est aussi suffisante. En particulier, lorsque l'on a trouvé le candidat plus grand nombre, il reste à vérifier que c'est bien lui, ce que certains ont très bien fait.

Ce n'est pas que de la "gestion des mouches" , il arrive assez fréquemment que la ou les conditions nécessaires que l'on utilise soit trop forte(s) et que le résultat ne soit pas suffisant. On pourrait dans ce problème majorer par condition nécessaire par 1000 par exemple ce qui serait vrai sans pour autant que 999 soit solution (pour exagérer).

Bonne continuation à ceux qui n'ont pas encore répondu.

Soit un nombre n expo-numérique.
Il existe un entier k tel que k^n ait n chiffres en base 10.

Supposons k>=10, alors k^n>=10^n donc k^n a au moins n+1 chiffres, ce qui est contradictoire. Par suite on a k<=9. De plus
n <= 1 + ln(9^n)/ln(10)
n<= 1/(1-ln(9)/ln(10))
n<=21.854...
n<= 21

Par ailleurs on a
n=1 expo-numérique : 1^1=1
n=2 expo-numérique : 4^2=16
n=3 expo-numérique : 5^3=125
n=4 expo-numérique : 6^4=1296
n=5 expo-numérique : 7^5=16807
n=6 expo-numérique : 7^6=117649
n=7 expo-numérique : 8^7=2097152
n=8 expo-numérique : 8^8=16777216
n=9 expo-numérique : 8^9=134217728
n=10 expo-numérique : 8^10=1073741824
n=11 expo-numérique : 9^11=31381059609
n=12 expo-numérique : 9^12=282429536481
n=13 expo-numérique : 9^13=2541865828329
n=14 expo-numérique : 9^14=22876792454961
n=15 expo-numérique : 9^15=205891132094649
n=16 expo-numérique : 9^16=1853020188851841
n=17 expo-numérique : 9^17=16677181699666569
n=18 expo-numérique : 9^18=150094635296999121
n=19 expo-numérique : 9^19=1350851717672992089
n=20 expo-numérique : 9^20=12157665459056928801
n=21 expo-numérique : 9^21=109418989131512359209

Finalement 21 est le plus grand nombre expo-numérique.

Encore que des bonnes réponses. Bravo.
(Les démonstrations sont parfois un peu intuitives ).