Ma premiere constatation est que les opérations inverses des opérations autorisées sont le meme ensemble d'opérations donc si il existe une transformation d'un couple vers un autre alors il existe une transformation dans l'autre sens.

De plus il est trivial que les opérations admises conservent le pgcd. Ceux sont les étapes élémentaires qu'on utilise dans l'algorithme d'Euclide.
Donc deux couples n'ayant pas le meme pgcd ne peuvent pas etre obtenus l'un a l'aide de l'autre.
Voilà déja une condition necessaire (mais pas suffisante) pour qu'il existe une transformation.

Le pgcd de [latex]19[/latex] (premier) et [latex]98 = 2*7*7[/latex] est [latex]1[/latex]. Donc on peut éliminer tous les candidats ayant un pgcd différents de [latex]1[/latex].

Donc [latex](12,183)[/latex] et [latex](35,119)[/latex] ne sont pas atteignables car ils ont comme pgcd respectivement 3 et 7.

Pour [latex](19,98)[/latex] et [latex](5,11)[/latex] comme leur pgcd est 1 je peux les transormer tous les deux en un couple [latex](a,1)[/latex] et [latex](b,1)[/latex]en appliquant l'algorithme d'euclide.
Ensuite passer de [latex](a,1)[/latex] a [latex](b,1)[/latex] est trivial en ajoutant/retranchant ce qu'il faut de 1.


En fait on peut appliquer ce procédé de maniere générale lorsque les pgcd sont égaux :
On applique l'algorithme d'euclide pour faire apparaitre le pgcd dans chaque couple. Le second élément de chaque couple est forcément un multiple du pgcd (vu que c'est le pgcd :-p) donc il suffit de l'ajouter/retrancher autant de fois qu'il faut pour se ramener au meme couple. Comme les opérations sont réversibles on a notre transformation.

Donc de maniere générale il existe une transformation si et seulement si les pgcd des couples sont égaux.

pour le premier, on peut faire:
19,98
98,19
79,19,
60,19
41,19
22,19
3,19
19,3
16,3
13,3
10,3
7,3
4,3
1,3
3,1
4,1
5,1
1,5
6,5
11,5
5,11
On peut réduire 19,98 a 1,1 mais on ne peut réduire 12,183 que jusqu'à 3,3
et 3,3 ne peut pas etre réduit à 1,1
donc on peut former des groupes qui se reduisent tous à la meme valeur, cette valeur etant le PGCD. Et à l'interieur de ces groupes, chaque couple de nombre peut etre lié l'un à l'autre.
19,98 se réduit à 1,1
5,11 se réduit à 1,1, soit le même groupe que 19,98
12,183 se réduit à 3,3 soit un groupe différent
35,119 se réduit à 7,7 soit un autre groupe différent