Bonjour,

Je n'ai pas le raisonnement complet, mais je me lance ...
J'aime bien l'idée du remplacement des boules blanches et noires par des poissons, et de l'urne par un aquarium !

On va imaginer que les 12 lots de 17 poissons sont prélevés successivement de l'aquarium.

> Il y a 18 possibilités de répartition (mâles; femelles), de (17;0) à (0;17)

> Jusqu'au 6ème prélèvement, elles sont équiprobables.

> Parmi les 18 possibilités, 10 répondent à la condition "au moins 4 mâles et 4 femelles" (de (4;13) à (13;4)

Donc, jusqu'au 6ème prélèvement, on a une probabilité de (10/18)^6 = 0,0294
que tous les lots satisfassent la condition initiale.


Au delà du 6ème prèlèvement, cela se corse !!!!

car si les 6 premiers sont (0;17) alors les 6 prochains seront forcément (17;0) !

.... j'en suis là ....


et si les poissons sont de cette espèce là :


Barbier ou Castagnole rouge ou barbier hirondelle

C'est une espèce hermaphrodite qui subit une inversion sexuelle au cours de sa vie; en effet d'abord femelle dans la première partie de son existence, l'individu devient ensuite mâle (Protogynie).

Les belles probabilités vont tomber à plat !

A bientôt !

Une idée qui peut peut être aider:

On commence par construire 12 lots en imposant 4 males puis 4 femelles:

(m m m m f f f f...) X 12

puis on "compte" de combien de manières on peut compléter les lots aléatoirement avec les 204-(8*12)=108 poissons restants. On divise alors ce nombre par le nombre total de lots que l'on peut construire sans contrainte.

Je n'ai pas calculé les probabilités, mais seulement fait des simulations.
(10 simulations successives, chaqu'une avec 100 millions d'essais (204 tirages par essai) )
Je trouve des résultats curieux:
La probabilité d'avoir au moins 4 mâles et 4 femelles est differente pour
chaque groupe:
1er groupe: 99.0624%
2eme groupe: 99.0628%
3eme groupe: 99.0599%
4eme groupe: 99.0649%
5eme groupe: 99.0613%
6eme groupe: 99.0613%
7eme groupe: 99.0592%
8eme groupe: 99.0669%
9eme groupe: 99.0597%
10eme groupe: 99.0612%
11eme groupe: 99.0673%
12eme groupe: 99.0567%
et enfin la probabilité que tous les groupes aient au moins 4 mâles et 4 femelles: 89.42794%
Les résultats de chaque test se ressemblent beaucoup:

Je me demande si c'est du a une caractéristique du générateur de nombres aléatoires que j'utilise.

Ce que je trouve assez interressant, c'est que si, au lieu d'avoir 12 groupes de 17 poissons, on a 12 groupes de 15 poissons, les résultats sont tres differents. Au lieu d'avoir le 12eme groupe avec la plus petite probabilité et le 11eme groupe avec la plus grande, c'est le 2eme groupe qui a la plus petite, et le 5eme groupe qui a la plus grande.

Bonjour,

Nombrilist a écrit:

Bonjour NickoGecko,

Je ne vois pas pourquoi les 6 premiers tirages seraient équiprobables puisque par exemple, la probabilité que le second lot satisfasse à l'exigence dépend du tirage du premier lot.

Effectivement, tu as sûrement raison.

victosaurus a écrit:

Une idée qui peut peut être aider:
On commence par construire 12 lots en imposant 4 males puis 4 femelles:
(m m m m f f f f...) X 12
puis on "compte" de combien de manières on peut compléter les lots aléatoirement avec les 204-(8*12)=108 poissons restants. On divise alors ce nombre par le nombre total de lots que l'on peut construire sans contrainte.

Je suis aussi reparti sur une approche du même ordre.

On dénombre les compositions ou partitions de 204, ou plutôt de 102, en au plus 12 termes de valeur maximale égale à 17.

Un site internet propose ce calcul en ligne.
http://www.btinternet.com/~se16/js/partitions.htm

Pour rappel, exemple avec 5 :
Il y a 7 partitions de 5 :
5
4+1
3+2
3+1+1
2+2+1
2+1+1+1
1+1+1+1+1

dont 3 partitions en termes distincts : 5, 4+1, et 3+2

Il y a 16 compositions de 5 qui sont : 
4+1
3+2
3+1+1
2+3
2+2+1
2+1+2
2+1+1+1
1+4
1+3+1
1+2+2
1+2+1+1
1+1+3
1+1+2+1
1+1+1+2
1+1+1+1+1

soit 5 compositions en termes distincts : 
5, 4+1, 3+2, 2+3, et 1+4.

donc selon l'appli du site :




> Il y a 367483 partitions de 102 avec 12 termes de valeur maximale 17.


J'ai commencé à les énumérer :



J'ai pris 102 pour partir du raisonnement avec l'un des deux genres, disons les mâles, d'ou l'indexation des termes de m1 à m12

Ce sont les partitions qui nous intéressent dans un premier temps, car ensuite pour les assimiler aux tirages, il y a beaucoup plus de possibilités que le calcul des compositions (voir les exemples du site)


Je pense que la suite du raisonnement consiste à :

Je l'imagine plus en programmation qu'en calcul pur, mais ne connaissant que VBA Excel je vais ramer !

1
Démultiplier chaque ligne parmi les 367483 selon le nombre de positions que ses termes distincts peuvent prendre. (suppose aussi de dénombrer combien il y a de termes distincts par ligne, en incluant "0")

Exemple, les les six "17" de la première ligne, et donc les six "0" peuvent s'écrire de 12x11 = 132 façons différentes si je ne me trompe pas.

(en fait pour k termes distincts, il y a A(12;k) arrangements)


2
Ecrire en correspondance de chaque ligne un 12-uplet {f1;f2;...;f12} des complémentaires à 17 de chaque {m1;m2;...;m12}

(f1+m1=17 ....)

3
Compter les lignes où tous les termes mi et fi sont >= 4 !


"yakafokon" !
A+

Essaye tes calculs avec WolframAlpha ...

Un copier-coller de l'expression que tu proposes est "interprétée" et donne le résultat suivant :





A voir ...

Ma calculatrice me dit que ça fait 1,02175E46, lol !

Ça ne doit pas être ça...

J'ai une autre approche, et je pense que ça fonctionne puisque j'obtiens les même résultats que Drhm.

Je ne m'intéresse pour le moment qu'à un seul lot de 17 (le premier pour simplifier). Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de mâles.

La probabilité de n'avoir aucun mâle correspond à 102/204 pour le premier, puis 101/203 pour le second et ainsi de suite pour les 17 poissons :
p(X=0) = (102/204) x (101/203) x...x (86/188) = (102x101x...x86)/(204x203x...x188)

p(X=0) = (102!*187!)/(85!*204!)

De même, la probabilité de n'avoir qu'un mâle et qu'il arrive le dernier est :
p=(102/204)x(101/203)x...x(87/189)  x  (102/188)

Comme le mâle peut être à n'importe quelle position du groupe :
p(X=1) = (17;1)*p = 17*102!*187!/(204!*86!)*102 où (17;1) est le coefficient binomial

ensuite, p(X=2) = (17;2)*102!*187!/(204!*87!)*102*101

Et enfin : p(X=3) = (17;3)*102!*187!/(204!*88!)*102*101*100

En fait la formule générale est : p(X=k) = (17;k)*(187!/204!)*(102!/(102-k)!)*(102!/(85+k)!)


Bref, on obtient p(X<4)=p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)=0.004695675 environ
soit 0.4695675%

Par symétrie, on peut dire qu'il y a autant de chance d'avoir 1 2 ou 3 femelles, et que donc la probabilité d'avoir au moins 4 mâle et 4 femelles vaut :

p = 1 - 2*0.004695675 = 0.99060865 = 99.06%

Pour finir, et c'est surement là le noeud du problème : je pense qu'il y a autant de chance qu'il n'y ai pas assez de mâle ou de femelle dans chacun des lots, puisque chaque lot est indépendant.
C'est un peut comme dire combien il y a de chance que le 1 sorte au loto en 1er, ou en 2nd. La probabilité est la même ! Le fait que si il est déjà sorti en 1er ne change rien au problème, il y a toujours au départ 1 chance sur 49 qu'il sorte sur la boule 1 et une chance sur 49 qu'il sorte sur la boule 2 !

Conclusion : la probabilité qu'il y ait assez de mâle et de femelle dans chaque lot vaudra :
p=0.99060865^12=89.29% !

D'ailleurs, la modélisation de drhm77 montre bien que la probabilité décroît avec le groupe.

Je n'ai pas vu la même chose : Perso j'ai remarqué que ça montait, puis descendait, puis montait, etc. et dans des proportions infimes de surcroît...

Ah, et j'oubliais : Où as-tu vu que je prenais en compte des combinaisons impossibles ?

Non, je ne pense pas.

Si je dis qu'il y a une chance sur 49 que la première boule du loto sorte le 1, et qu'il y a aussi une chance sur 49 que la deuxième sorte le 1, c'est une question d'arrangement d'un échantillon de 5 boules parmi 49. Ça ne veut pourtant pas dire qu'il est donc possible qu'elle sorte sur la boule une ET sur la boule 2 !

(Une fois le tirage terminé, j'ai une chance sur 49 que la boule 1 soit sortie sur la boule 1, autant sur la boule 2, et de même jusque la boule 5, et j'ai enfin 44 chances sur 49 qu'elle ne soit pas sortie)

En fait, je ne m'occupe que du calcul du premier lot car c'est le plus facile à calculer. Dans ce groupe précis, je calcul juste les chances d'obtenir 0, 1, 2 ou 3 mâles. Ce qui est possible. Je ne m'intéresse pas aux autres lots, de même que je ne m'intéresse pas aux autres boules du loto pour calculer la probabilité que le 1 sorte la première ou la deuxième boule.

Ensuite, une fois le premier lot analysé, je pense que tous les groupes ont la même probabilité d'avoir au moins 4 mâles et 4 femelles, puisqu'il s'agit d'un arrangement de la population (toujours la même référence que pour le loto).

L'ordre a donc une importance pour le calcul dans un lot, mais plus ensuite pour chaque lot, puisque chacun est un arrangement de 17 parmi 204...

Je ne sais pas si je suis très clair, je suis désolé...

J'ai refait les meme tests avec le meme programme mais sur un ordinateur different, et donc un generateur de nombres aleatoire different, et les resultats sont maintenant differents. Au lieu d'avoir des tests qui se ressemeblent beaucoup, les resultats varient beaucoup.
Mais maintenant, la moyenne de chaque groupe est de 99.0602%.

Puisque Nombrilist me demande le programme, le voici:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

unsigned char c, ok, nbf, nbm, nbl, f[20], m[20];
unsigned long nbt, try, odds, odd[20];

unsigned nbp, nbg, nbi; /* number of fish, groups, individuals */

void main()
{
unsigned register a,b;
  nbg=12; //number of groups
  nbi=17; // number of individuals per group
  nbt=10000000lu; // number of tests
  nbp=nbg*nbi;
  if (nbp&1) printf("warning: not same number of males and females\n");
  for (c=0; c<10; ++c)
  {
    memset(odd, 0, 4*nbg);
    for (try=odds=0; try<nbt; ++try)
    {
      nbm=nbf=nbp/2; // number of males and females
      nbl=nbp; // number left to pick
      memset(f, 0, nbg); memset(m, 0, nbg);
      ok=1;
      for (a=0; a<nbg; ++a)
      {
        for (b=0; b<nbi; ++b)
        {
      if ((random()%nbl)<nbm) { ++m[a]; --nbm; }
      else { ++f[a]; --nbf; }
      --nbl;
        }
        if ((m[a]>=4) && (f[a]>=4)) ++odd[a];
        else ok=0;
      }
      if (ok) ++odds;
    }
    for (a=0; a<nbg; ++a) printf("%lu ", odd[a]);
    printf("\nglobal odds=%lu/%lu\n", odds, try);
  }
}

Bon, pour plus de lisibilité j'ai recommencé mon exemple plus simple une page plus loin.

"Pour le nombre de répartitions qui respactent la condition "4 mâles et 4 femelles par bocal", j'ai tenté la méthode "on met 4 mâles et 4 femelles par bocal, puis on complète au hasard", mais en procédant de la sorte, on peut retomber sur des partages identiques..."

C'est bien aussi ce que j'ai tenté, mais je me suis aussi vite rendu compte que ça ne marchait pas...

Je me pose aussi la même question.
Perso je considèrerais les poissons comme indifférenciables à l'oeil comme tu le fais.
Par contre la notion de "mot" ne me parait pas correcte car tu differencies les positions des poissons. Je parlerais putôt de "sachets".
Par exemple avec 10 m et 7 f  on peut faire un seul sachet mais beaucoup de mots.

Je me demande si l'on est pas en train de noyer le poisson dans l'eau?