euh ça me parait un peu simple ...
N'ai-je pas compris la question ?

Le robot sur une des flèches rouges.

Je ne crois pas.
Si on pouvait, il existerait un ensemble de vecteurs formant un circuit fermé minimal à l'intérieur duquel je pense qu'il y aurait nécessairement un angle > 90°...

Pour que le robot ne sorte pas, il doit faire un circuit fermé (on suppose un échiquier fini).
Un parcours fermé à une angulation globale de 360°.
Un parcours fermé de 4 cases ne convient pas (360°/4=90°)
Un parcours fermé en huit est impossible. il est en boucle unique, car il est impossible de réaliser des croisements de parcours. Le flêchage des cases intérieures est donc enfermé dans la boucle.
Soit on réalise un flêchage des cases intérieures en vortex vers l'extérieur ou l'intérieur, soit on réalise un flêchage en boucles concentriques. Dans tous les cas, on arrivera à une incompatibilité au centre.

Juste un petit message pour dire que je ne donne pas d'indice vu la lourdeur de ma solution

J'espère une idée originale et expéditive

Vasimolo

Si le robot ne s'enferme pas dans une boucle, tout en restant à l'intérieur de l'échiquier, il y a quelque chose qui m'échappe dans l'énoncé. Pour ce que j'ai compris, une flêche indique une seule case voisine, que le robot est tenu de suivre. Dès qu'il arrive dans la case voisine, il obéit alors à cette nouvelle flêche. Est ce autre chose ?

Le problème est de remplir le centre de la boucle.

Une boucle, arbitrairement orientée comme les aiguilles d'une montre, est caractérisée par deux  changements d'orientation:

1/ Vers le haut sur le coté gauche (N) et vers le bas (S) sur la droite, ce qui impose une série "gauche-droite" comme étant N NE E SE S aux répétitions près.

2/ Du haut vers le bas, le série est toujours aux répétitions près.
E
SE
S
SO
O

Hors c'est deux séries ne s'assemblent pas comme il le faudrait, le "E" s’éloigne sur la diagonale montante et toute répétition éloigne d'avantage le "O" opposé.

Je note que l'on pourrait faire une analogie avec des valeurs octales.

Enfin il me semble que l'exercice n'est possible que pour des variations d'angles de 90 deg ce qui donnerait comme carré centrale la boucle elle-même.
N E
O S

Bonjour,
Si j'ai bien compris, pour éviter une chute dans le vide, le robot devra effectuer une boucle fermée (plus ou moins grande) en périmétrie de l'échiquier carré. Le vecteur direction aura alors réalisé un tour complet. Si on prend maintenant des boucles de plus en plus petites à l'intérieur de celle du robot, comme il y aura de moins en moins de cases à parcourir, il est clair que le vecteur direction aura des angles de plus en plus grands à sauter et qu'à un moment, cet angle dépassera la valeur limite.
Voilà donc mon idée pour démontrer que c'est impossible, mais mon idée manque un peu (beaucoup) de rigueur mathématique.
Bonne journée.

Ben, c'est quand même vraiment pas loin du théorème de la boule chevelue ton truc: si tu as une boucle, alors tu as une demi-boule avec un  champ de vecteur continu le long, donc tu auras un épi à l'intérieur... Essaye en dimension impaire, ça change la vie!

Je reviens sur mon raisonnement d'origine dont, il est vrai, la dernière phrase était trop vague.

Pour que le robot ne sorte pas, il doit faire un circuit fermé (on suppose un échiquier fini).
Un parcours fermé à une angulation globale de 360°.
Un parcours fermé de 4 cases ne convient pas (360°/4=90°)
Un parcours fermé en huit est impossible. il est en boucle unique, car il est impossible de réaliser des croisements de parcours. Le flêchage des cases intérieures est donc enfermé dans la boucle.

Ces assertions sont tout de même assez banales.
Soit donc une boucle, mettons qui tourne dans le sens horaire. Les cases voisines intérieures à la boucle sont soit:
-parallèles à la boucle (dans le sens horaire)
-décalées d'un 1/8 de tour vers la boucle, donc vers l'extérieur.
-décalées d'un 1/8 de tour vers l'intérieur. Dans ce cas là, cette flêche est origine d'un cheminement qui peut 1) rejoindre à un moment donné la boucle. Dans ce cas, il existe une boucle plus petite que la boucle originale et de même sens. C'est à dire qu'en partant de cette case, on reviendra sur une case voisine appartenant à la boucle originale. On ne pourra donc pas traverser cette boucle plus petite en partant d'une case intérieure. 2) soit le cheminement établira une boucle à l'intérieur de la boucle. Auquel cas on est alors confronté à la même configuration qu'avec la boucle originale.

Donc le problème peut se ramener à l'analyse des cases qui sont soit parallèles à la boucle soit orientées vers l'extérieur. On suppose qu'il n'y a que ces 2 possibilités, bien entendu mixées. 
Une fois qu'on a placé les flêches dans les cases de cette boucle intérieure, on recommence avec une 3ème boucle à l'intérieur de la seconde. Le terme boucle ne désigne pas ici un cheminement, mais simplement un remplissage des cases intérieures immédiatement voisines de la boucle précédente. L'ensemble des cases est une boucle, même si ça ne correspond pas à la direction des flêches.
On continue ainsi couche après couche jusqu'à arriver à un nombre minimal de cases. Or on est toujours dans la configuration des flêches soit paralléles soit extérieures. Il est évident que dans la case finale on ne pourra pas orienter la flêche dans tous les sens à la fois. Et le problème va se poser bien avant la case finale, au minimum dans les 4 dernières cases à remplir, et encore si elles sont en carré.
Voilà à peu près mon raisonnement.

nodgim a écrit:

Je reviens sur mon raisonnement d'origine ...
Voilà à peu près mon raisonnement.

Belle explication.
J'aime bien aussi :

Klimrod  a écrit:

... chercher ainsi le centre de gravité de la boucle ...

bien que je ne vois pas comment la conclusion sur ce centre de gravité permet de conclure sur le problème posé ?

Je suis curieux de voir ce que sera la solution complète ...

"Si une flèche permet de rejoindre cette boucle, c'est qu'on peut en trouver une plus petite en passant par cette case donc ou que cette case ne peut pas être atteinte."

Phrase un peu enigmatique....

nodgim a écrit:

"Si une flèche permet de rejoindre cette boucle, c'est qu'on peut en trouver une plus petite en passant par cette case donc ou que cette case ne peut pas être atteinte."

Phrase un peu enigmatique....

Bah non. Si une case au centre de la boucle permet de rejoindre la boucle, c'est qu'on n'est pas sur la boucle minimale.

Soit elle appartient à un trajet qui permet de réduire la boucle, soit elle appartient à un trajet auquel rien ne mène (une impasse à reculons en quelque sorte).
Après, si on raisonne comme ça sur chaque case à l'intérieur de la boucle toutes les cases ne peuvent quand même pas venir de nulle part vu que chacune doit mener quelque part.

Mais j'aurais peut-être du rajouter les flèches extérieures à la boucle.
On voit aussi qu'il est impossible de rentrer dans la boucle sans l'emprunter.