Enigme Découpage d'un disque. @ Prise2Tete

titoufred · #1

On dispose 6 points (distincts) sur un cercle. Puis on trace tous les segments possibles joignant deux points quelconques parmi les 6. On suppose que les points sont placés de façon à ce que 3 segments donnés ne soient pas concourants.Ces segments délimitent des régions sur le disque. Combien y a-t-il de régions ?

racine · #2

1, 2, 4, 8, 16, 31, 57
La première énigme que j'ai postée.

MthS-MlndN · #3

http://threesixty360.wordpress.com/2008 … omes-next/

Déjà passée une ou deux fois sur le forum Et intéressante pour ceux qui sont passés à côté jusqu'ici, un dénombrement intéressant !

rivas · #4

Ca fait longtemps que je n'etais pas passé par ici.

Si je me souviens bien, pour n points la réponse est:
[TeX]\binom{n}{4}+\binom{n}{2}+1[/TeX]
Qui pour 6 donne: 15+15+1=31, ce qui est confirmé par la case réponse.

J'essaierai si j'ai le temps de retrouver la démonstration de ce résultat.

Edit: Je viens de trouver:
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=8008
Qui lui-même renvoie sur:
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=4959

Très complet:
http://mathenjeans.free.fr/amej/edition … 131132.pdf

gwen27 · #5

Déjà, suivant si les trois diagonales sont concourantes ou non , il peut y en avoir 30 ou 31 , je pense.

Passetemps · #6

Je trouve 30 régions + 1 région centrale formée par un triangle (segments

non concourants)

donc 31 régions

Vasimolo · #7

Bonjour

La formule générale pour [latex]n[/latex] points quand les diagonales ne sont jamais concourantes est [latex]1+C_n^2+C_n^4[/latex] .

Ici 1+15+15=31 .

Vasimolo

masab · #8

Il y a 31 régions.

Vasimolo · #9

Un prolongement amusant au problème de Titoufred :

On place [latex]n[/latex] points sur un cercle de façon à ce que les diagonales ne soient jamais concourantes et on relie tous les sommets .

Combien a-t-on construit de zones triangulaires ?

Vasimolo

titoufred · #10

Alors, comme le font justement remarquer certains, il faut préciser que les points sont placés de manière à ce que 3 segments donnés ne soient pas concourants.

nodgim · #11

Sauf erreur, car j'ai fait ça un peu vite, la formule générale serait:
Si n= nb de points et R nb de régions
R=n(n-1)/2 +C(n+1,4).

elpafio · #12

Si les points sont disposés de sorte que 3 segments donnés ne soient pas concourants, on dénombre 31 régions.

Franky1103 · #13

30 si les 3 segments particuliers sont concourants, et donc 31 (validé par la case-réponse) s'ils ne le sont pas.

titoufred · #14

Bravo à tous pour les réponses et les généralisations à n points.
Ce qui est drôle, c'est effectivement que pour 1, 2, 3, 4 et 5 points, on trouve respectivement 1, 2, 4, 8 et 16 régions, mais pour 6 points, ça fait 31 régions.

nodgim · #15

Oui c'est piègeant si on conclut trop vite...
La formule peut s'écrire aussi:
C(n,0)+C(n,2)+C(n,4)

On aurait bien envie de savoir à quel dénombrement correspond la formule
C(n,0)+C(n,2)+C(n,4)+C(n,8)

nodgim · #16

Au fait, une question idiote: en posant les points au hasard, se peut il qu'on puisse tomber sur 3 segments concourants ?
Attention, la réponse n'est pas simple....

Franky1103 · #17

Ayant déjà placé les cinq premiers points, des positions bien précises (pas uniques) du sixième rendent trois segments concourants. Donc cette probabilité est de N/+OO (N étant fini) soit 0.

Vasimolo · #18

J'avais aussi proposé le prolongement suivant :

On place [latex]n[/latex] points sur un cercle de façon à ce que les diagonales ne soient jamais concourantes et on relie tous les sommets .

Combien a-t-on construit de zones triangulaires ?

Vasimolo

nodgim · #19

n(n-3) je dirais.

nodgim · #20

Franky1103 a écrit:
Ayant déjà placé les cinq premiers points, des positions bien précises (pas uniques) du sixième rendent trois segments concourants. Donc cette probabilité est de N/+OO (N étant fini) soit 0.

C'est une excellente réponse.

titoufred · #21

Vasimolo a écrit:
Un prolongement amusant au problème de Titoufred :

On place [latex]n[/latex] points sur un cercle de façon à ce que les diagonales ne soient jamais concourantes et on relie tous les sommets .

Combien a-t-on construit de zones triangulaires ?

Pour n=3, il y a un triangle.

Pour n>=3, il y a n triangles avec 2 sommets au bord et n(n-4) triangles avec 1 sommet au bord, donc au total n(n-3) triangles au bord.

Mais il faut également compter les triangles à l'intérieur qui apparaissent pour n>=6 : il y en a 1 pour n=6, et pour n>=7, ???...

En tout cela donne :

pour n=3 : 1 triangle
pour n=4 ou 5 : n(n-3) triangles
pour n=6 : 19 triangles
pour n>=7 : ??? triangles

gwen27 · #22

Ca ressemble à une suite connue : celle de la somme des 5 premiers termes à chaque étage d'un triangle de pascal.

En tout cas, ça marche jusqu'à 8. Au dela, j'ai la flemme de compter

titoufred · #23

Pour les triangles intérieurs, j'ai fait des figures et compté à la main :

n=6 : 1 triangle intérieur donc 19 triangles
n=7 : 7 triangles intérieurs donc 35 triangles
n=8 : 12 triangles intérieurs donc 52 triangles
n=9 : 30 triangles intérieurs donc 84 triangles

nodgim · #24

Ah oui tiens j'ai totalement négligé les triangles intérieurs, pensant à tort qu'il n'y avait que des polygones d'au moins 4 cotés.
A suivre...

Vasimolo · #25

Il y a une astuce machiavélique pour compter les triangles , je vous laisse chercher encore un peu avant de donner un indice

Vasimolo

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#1 - 18-09-2012 00:13:10

découpage d'un sisque.

#0 Pub

#2 - 18-09-2012 00:28:48

Découpage d'un dsique.

#3 - 18-09-2012 09:25:36

Découpage d'uun disque.

#4 - 18-09-2012 14:48:39

Découpge d'un disque.

#5 - 18-09-2012 15:28:01

Découpage d'un dique.

#6 - 18-09-2012 16:08:30

découpage d'yn disque.

#7 - 18-09-2012 16:10:05

Découpage dd'un disque.

#8 - 18-09-2012 17:32:16

découpage d'un dusque.

#9 - 18-09-2012 18:29:46

découpage d'un dissue.

#10 - 18-09-2012 19:22:47

Découpage dun disque.

#11 - 18-09-2012 20:55:49

découpahe d'un disque.

#12 - 18-09-2012 21:46:11

Découpage d'un disqu.

#13 - 18-09-2012 22:22:22

Découapge d'un disque.

#14 - 19-09-2012 18:53:26

Découpage d'un disquue.

#15 - 19-09-2012 19:02:16

découpage d'un dosque.

#16 - 19-09-2012 19:04:05

découpage d'un disqye.

#17 - 19-09-2012 19:25:06

Découpage d'un disque

#18 - 19-09-2012 19:25:32

Découupage d'un disque.

#19 - 19-09-2012 19:42:23

Découpae d'un disque.

#20 - 19-09-2012 19:43:52

découpafe d'un disque.

Franky1103 a écrit:

#21 - 24-09-2012 22:19:52

Découpagee d'un disque.

Vasimolo a écrit:

#22 - 25-09-2012 16:41:03

Découpage 'dun disque.

#23 - 25-09-2012 17:30:30

découpage d'un dosque.

#24 - 25-09-2012 17:56:01

Découpage d'un disqu.e

#25 - 25-09-2012 18:22:45

Découpage d'unn disque.

Réponse rapide

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