Le problème semble sympathique et je résiste pour l'instant à la tentation de le googler.

Quel est ce nombre maximum qui ne peut être une combinaison de lingots "unités". X? / X max et X<> 315a+385b+495c+693d qqs a,b,c,d dans N

1/
Commençons donc par étudier seulement deux valeurs simples, disons 4 et 11.
On note que le X est inférieur à la première série de 4 valeurs consécutives. Il suffit  en effet d'ajouter la plus petite valeur ou un de ses multiples, ici 4, pour obtenir n'importe quelle valeur supérieure.
ici 33 (=3*11), 34 (=2*11+3*4), 35 (=11+6*4) et 36 (=9*4) forment une série supérieure à X. X=29 dans cet exemple, soit X=(4-1)11-4

Vérifions cette intuition avec 5 et 13: X=(5-1)13-5=47 pas décomposable
48=7*5+13, 49=2*5+3*13, 50=10*5 et 51=5*5+2*13 et 52=4*13
on note que 13 n'est pas un multiple de 5. pgcd=1

Avec 6 et 15, pgcd=3. X=69? non... car seuls les multiples de 3 sont décomposables.

2/
Étudions maintenant 3 valeurs simples, disons 7, 12 et 15. Le pgcd est 1
avec 7 et 12 seules, X=(7-1)*12-7=65. Cependant, 65=2*15+5*7.
On note que 12=3*4 et 15=3*5 donc permet d'obtenir tous les multiples de 3 au delà de (4-1)5-4=11 multiplications. Si X>33 alors il faut considérer 3 et 7.
A suivre...

titoufred me fait remarquer un problème avec mon énoncé. En effet lorsque j'ai adapté l'original, j'ai voulu l'attacher au réel plutôt qu'à des cm^3. Mais évidemment puisque le cm^3 vaut 1000€, n'importe quelle somme non multiple de 1000€ n'est pas atteignable, il n'y a donc pas de maximum.

Je modifie donc l'énoncé pour dire que le vendeur a posé un écriteau disant qu'il ne change que des multiples de 1000€ et que les acheteurs le savent et que l'acheteur en question se présente bien avec un multiple de 1000€.

Je suis désolé si certains ont cherché dans la mauvaise direction à cause de cette imprécision.

J'en profite pour dire que le vendeur ne vend que des lingots entiers bien sûr.

Il tombe mal ton 1000ème , je n'ai pas une seconde à moi

Bravo quand même et merci pour l'ensemble de ton œuvre

Vasimolo

PS : il faudra quand même que je trouve un moment pour y réfléchir

Quelque chose m'échappe: le vendeur ne cède que des entiers de cm3 d'or, vu les lingots, donc que des entiers de 1000€.
N'y a t il pas un autre souci dans l'énoncé ?
Ne voulais tu pas dire qu'il ne vendait que des multiple de millions d'euros ?

Ah c'est vrai, le 1000€ ne sert à rien en effet....

Voici donc la réponse à cette énigme.

Soit donc p,q,r,s 4 entiers premiers entre eux. Je note N1=pqr, N2=pqs, N3=prs et N4=qrs (chacun est le produit de 3 des 4 p, q, r, s).

Le plus grand nombre que l'on ne puisse pas écrire est N=3.pqrs-pqr-pqs-prs-qrs.
On peut noter que pqrs est le ppcm de pqr, pqs, prs et qrs et que le coefficient 3 vient du fait qu'on utilise 4 premiers (p,q,r,s). Voir l'indice ci-dessus avec 1 pour 2 premiers et 2 pour 3 premiers.
(N=3.PPCM(N1,N2,N3,N4)-N1-N2-N3-N4)

Montrons d'abord que N ne peut s'écrire comme combinaison linéaire à coefficients entiers NATURELS de N1, ..., N4.
Raisonnons par l'absurde: Si N pouvait s'écrire comme combinaison de N1, N2, N3 et N4, il existerait a, b, c, d tous positifs ou nuls tels que:
3pqrs-pqr-pqs-prs-qrs=a.pqr+b.pqs+c.prs+d.qrs (1)
c'est à dire:
p(3qrs-qr-qs-rs-aqr-bqs-crs)=qrs(1+d)

p était premier avec q, r et s, p divise pour 1+d et donc p <= 1+d
De même q <= 1+c, r <= 1+b et s <= 1+a

Or d'après (1) 3pqrs=(a+1)pqr+(b+1)pqs+(c+1)prs+(d+1)qrs.
Donc d'après ce qui précède, 3pqrs >= spqr (je n'ai pas fait exprès) + rpqs + qprs + pqrs = 4pqrs.
Ce qui est impossible.
N ne peut donc pas être atteint.

Il reste à montrer que c'est le plus grand.
Pour cela montrons que M=N+v (avec v>0) peut être atteint.

pqr, pqs, prs et qrs sont premiers entre eux.
Le théorème de (Bachet-)Bezout nous permet d'écrire qu'il existe a, b, c, d entiers RELATIFS tels que:
M=a.pqr+b.pqs+c.prs+d.qrs

On peut montrer (voir lemme complémentaire à la fin) qu'on peut se ramener à:
0<=a<=(s-1), 0<=b<=(r-1), 0<=c<=(q-1) et d entier relatif quelconque (X)

On a alors M <= (s-1)pqr+(r-1)pqs+(q-1)prs+(d+1)qrs-qrs (je transforme le d.qrs restant en (d+1)qrs-qrs pour faire apparaitre -qrs).
Donc M<= 3pqrs-pqr-pqs-prs-qrs+(d+1)qrs = N+(d+1)qrs

On a finalement M=N+v et M<=N+(d+1)qrs. Donc (d+1)qrs>=v>=1 donc d>=0.
M peut bien s'écrire de la forme souhaitée, ce qui termine la démonstration.

Dans notre cas, p=5, q=7, r=9, s=11.
N=8507, M=8508
La solution est donc 8507000€.

Je reviens sur le point (X), je l'ai placé à la fin pour ne pas surcharger le raisonnement principal.
Le théorème de (Bachet-)Bezout nous permet d'écrire qu'il existe a, b, c, d entiers RELATIFS tels que:
M=a.pqr+b.pqs+c.prs+d.qrs
Quel que soit k entier naturel, on peut écrire: M=(a+ks)pqr+bpqs+cprs+(d-kp)qrs.
Quel que soit le signe de a, on peut choisir k de façon à ce que a+ks soit bien compris entre 0 et s-1 inclusivement.
On procède de même pour b et c et on se trouve donc bien dans la situation
M=a'pqr+b'pqs+c'prs+d'qrs avec les conditions énoncées pour a', b' et c', d' étant bien un entier relatif.

Voila, j'espère que la prochaine énigme que je proposerai aura plus de succès.
A la relecture de la solution, il est vrai qu'elle n'est pas simple.
C'est quand même un joli résultat mathématique pas trop difficile à mémoriser pour le cas de 2 premiers qui répond aux problèmes de type: quelle sommes peut-on payer avec 2 types de pièces, de billets, ...

@titoufred: Tu as tout à fait raison.
En fait c'est la même démonstration qui permet de montrer que l'on peut écrire tout nombre supérieur à N de cette façon. Je l'ai montré pour N+1 mais exactement le même raisonnement pour N+v donne le résultat. J'ai donc édité mon post pour y ajouter cette information.

La solution n'utilise pas de concept mathématique très poussé (Bezout) mais c'est vrai que le cheminement n'est pas évident.

Ceci étant dit, le cheminement de certains gateaux ou dénombrements que j'ai vus ici ne le sont pas non plus

Tu m'as appris un truc: je ne savais pas que ça s'appelait les nombres de Frobenius.

Ça peut être une idée, mais c'est vrai que c'est désagréable d'avoir l'impression de faire un flop ( et c'est un spécialiste qui parle). Il fait juste penser à faire un petit post pour dire qu'on y pense.

Je suis assez d'accord avec Nodgim

Au début je donnais ma solution à la fin du temps imparti quand je recevais le message me demandant de livrer ma solution . Maintenant j'attends les réactions , si le problème est intéressant il y en aura , sinon pourquoi fournir une solution que personne ne lira ?

Certains problèmes gagnent à être cachés longtemps , d'autre pas du tout . Rendre visible les messages d'une énigme ne doit entrainer systématiquement le dévoilement de sa solution .

Ce problème je l'aurais bien cherché

Vasimolo

Euh, ...

Je suis désolé d'avoir donné la réponse trop tôt.

J'ai retiré le commentaire contrarié.
La prochaine fois, si vous souhaitez du temps, n'hésitez pas à le demander, surtout que je le proposais...