Est dense dans $\mathbb{R}$ mais pas $\mathbb{R}$ ???

Soit f la fonction caractéristique de Q. Le groupe des périodes de f est Q. En effet,

∀x ∈ R, ∀r ∈ Q, x + r ∈ Q ⇔ x ∈ Q,
et donc ∀x ∈ R, ∀r ∈ Q, f(x + r) = f(x).
Mais on a aussi
∀x ∈ R, ∀r ∈ (R \ Q), x + r ∈ Q, ⇔ x ∈ Q,
et donc
∀x ∈ R, ∀r ∈ (R \ Q), f(x + r) = f(x).

Voilà !!!