Pour ce que je comprends:
2013^2013^2013...se calcule de droite à gauche.
Le seul membre qui va déterminer la valeur du chiffre unité est le dernier à gauche. Et dans ce 2013, seul le 3 donne la valeur du chiffre unité.
Modulo 10, les puissances successives de 3 sont 3,9,7,1.
3^(quelque chose) est donc dépendant de ce quelque chose modulo 4.
2013^2013^2013....=1 mod 4, car 2013=1 mod 4 et que 1^(entier)=1

Le chiffre final sera donc 3^1=3

@fix33 : Le raisonnement n'est pas bon.

Attention quand même aux cas particuliers , le dernier chiffre de l'écriture décimale de 2² n'est pas un 6

Vasimolo

C'est vrai que ça colle à la définition donnée : j'avais intuité [latex]1[/latex] , [latex]2^2[/latex] , [latex]3^{3^3}[/latex] , [latex]4^{4^{4^4}}[/latex] , ...

Vasimolo

Moi,moi ! je trouve !

On peut procéder de la même manière, pour un nombre se terminant par 13 on obtient le cycle suivant :

13 69 97 61 93 09 17 21 73 49 37 81 53 89 57 41 33 29 77 01

Comme on sait que le chiffre des unités est 3, cela restreint le choix à :

13 93 73 53 33

Ceci correspond aux deux derniers chiffres d'un nombre de la forme (100a+13)^k
avec respectivement k de la forme :

20k'+1 ; 20k'+5 ; 20k'+9 ; 20k'+13 ; 20k'+17.

Clairement, 2013 est de la forme 20k+13.
On a [latex](20k+13)^{4k}[/latex] qui est de la forme 20K+1.
On a [latex](20k+13)^{4k+1}[/latex] qui est de la forme 20K+13.
On a [latex](20k+13)^{4k+2}[/latex] qui est de la forme 20K+9.
On a [latex](20k+13)^{4k+3}[/latex] qui est de la forme 20K+17.

Comme les puissances d'un nombre de la forme 4k+1 reste de la forme 4k+1, alors [latex]u_{n-2}[/latex] est de la forme 4k+1.

Donc [latex]u_{n-1} = 2013^{u_{n-2}}[/latex] est de la forme 20k+13, et donc [latex]u_n[/latex] se termine par 53.

Oh non, je ne me lance pas là dedans, trop de cas à étudier (et trop fainéant )