BRAVO Franky

@ Fix: bonne réponse pour les questions 1 et 2. Non pour la 3. Il faudra remarquer que le type du k-ième cadeau est toujours inférieur ou égal à l'anniv durant lequel il est donné

Je voulais mettre bonne réponse pour 1 et 2 et non pas pour 1 et 3. dsl
Tu n'as pas bon pour la question 3

Bonjour

Pour la question 1 au n-ième anniversaire il reçoit :
n + n-1 + ... + 2 + 1 = n(n+1)/2 cadeaux.

Pour la question 2 au au bout du n-ième anniversaire il a reçu :
$$\sum_{i=1}^n{i(i+1)\over2} = {1\over 2}\sum_{i=1}^ni^2+i={1\over 2}\biggl(\,\sum_{i=1}^ni^2+\sum_{i=1}^ni\biggr)=$$ $${1\over 2}\left({n(n+1)(2n+1)\over 6}+{n(n+1)\over 2}\right)={n(n+1)(n+2)\over 6}$$
Pour la question 3 :

L'indication dit que pour tout $n$ :
$$n(n^2-1)\le n^3\le n(n+1)(n+2)$$
Posons $u_n = n(n+1)(n+2)$ et $v_n = n(n^2-1)$
Nous avons $v_{n+1} = (n+1)((n+1)^2-1) = (n+1)(n+1-1)(n+1+1) = u_n$.

Donc pour tout n : $u_n\le (n+1)^3 \le u_{n+1}$

Donc soit $m = E(\sqrt[3]{6k})$

alors nous avons :   $u_{m-2}\le(m-1)^3 < 6k \le m^3 \le u_{m}$

Nous avons deux cas :

-cas 1 :  $u_{m-1} < 6k$ alors on reçoit son k-ième cadeau lors de son m-ième anniversaire.

-cas 2 :  $6k \le u_{m-1}$ alors on reçoit sont k-ième cadeau lors de son (m-1)-ième anniversaire.

Donc soit :
i)  $m(k) = E(\sqrt[3]{6k})$

ii) $g(k) = \left\{{{ m(k)-1  \hbox{ si } 6k \le u_{m(k)-1}}\atop{m(k) \hbox{ sinon }\hfill}}$

alors $g(k)$ correspond à l'anniversaire pendant lequel on reçoit sont k-ième cadeau.

Soit maintenant $j(k) = k - u_{g(k)-1}/6$

Alors $j$ représente ce qui reste à compter pour arriver à $k$ une fois que l'on a enlevé les cadeaux des anniversaires précédant le (g(k))-ième.

On sait que le  nombre de cadeaux reçu lors du (g(k))-ième anniversaire est :
$$g(k)(g(k)+1)\over 2$$
On compte d'abord les cadeaux de type g(k), ensuite les cadeaux de type (g(k)-1), ... et on s'arrête quand on a atteint j(k). On cherche donc le plus petit $i$ tel que ${g(k)(g(k)+1)\over 2}-{i(i+1)\over 2} < j(k)$

Si on pose $C(k) = g(k)(g(k)+1) - 2j(k)$, on veut donc :
$$i(i+1)-C(k)>0$$
Cela donne  $i > {-1 + \sqrt{1+4C(k)}\over 2}$

Donc si on pose $i(k) = E({-1 + \sqrt{1+4C(k)}\over 2}) +1$
alors le k-ième cadeau est de type $i(k)$ !!!

Oufff. 

Bon aller un petit effort pour l'application numérique :

Pour $k = 10^9$ :
$$m(k)= E(\sqrt[3]{6*10^9}) = E(\sqrt[3]{6}*1000) = 1817[/latex]. [latex]u_{1816} = 1816 * 1817 * 1818 = 5. 998. 803. 696 [/latex]. [latex]5. 998. 803. 696 < 6k[/latex]  donc [latex]g(k)= m(k) = 1817$$ $$j(k) = k - u_{1816}/6 = 199. 384$$ $$C(k) = 1817*1818 - 2* 199 .384 = 2. 904. 538$$ $${-1 + \sqrt{1+4C(k)} \over 2}\simeq 1703,77$$ $$i(k)= 1703+1 = 1704$$

bonjour

question 1 : facile n(n+1) /2
question 2  : somme de i = 1 à n des i( i+1) /2 soit n(n+1)(n+2)/6
question 3 : on cherche d'abord l'année en résolvant par tâtonnements n(n+1)(n+2)/6 < 10^9 , à l'aide la racine cubique de 6 x 10 ^9
on trouve l'année 1817 .
après 1816 il aura reçu en tout 999800616 kdos, donc en 1817 on veut 199384 > 1817 + 1816 + .... + x
suite arithmétique de raison -1 , on tombe sur l'inéquation - x^2 + x + 2904538 <0   
la solution est finalement 1704 !!

titoufred a écrit:

Tiens, il m'est venu une façon rigolote de calculer la somme pour la question 2 :

Choisir 3 nombres parmi les entiers compris entre 1 et n+2 revient à d'abord choisir le max entre 3 et n+2 puis les 2 autres entre 1 et le max-1 donc
$${n+2 \choose 3} = \sum_{max=3}^{n+2}{max-1 \choose 2} = \sum_{k=1}^{n}{k+1 \choose 2}$$
Et donc  $\frac{(n+2)(n+1)n}{6} = \sum_{k=1}^{n}\frac{k(k+1)}{2}$

La classe!, moi qui pensais faire la différence avec mon intégrale
Et comment t'es venue cette idée?

Merci à tous pour votre participation
La long week-end du 11-11 oblige, je m'étais éclipsé un peu

Toutes les réponses sont justes pour les questions 1 et 2.
C'est la question 3 qui pose un peu problème et là aussi je vois que de différents contours sont explorés, ma démarche est identique; la seule astuce étant l'utilisation du racine cubique que j'avais filé en indice.

Si n est l'anniv durant lequel le k-ième cadeau est reçu alors:
$$n(n^2-1)<6k\leq n(n+1)(n+2)$$
A partir de là, j'ai trouvé l'astuce du racine cubique car quelque soit n, on a:
$$n(n^2-1)<n^3<n(n+1)(n+2)$$
Cela permet de définir  2 valeurs possibles de n que nous allons noter $n_1$ et $n_2$ tels que:
$$n_ 1=PE[(6k)^{1/3}][/latex]  et  [latex]n_2=n_1+1$$ $$n=n_1[/latex] si [latex]n_1(n_1+1)(n_1+2)\geq6k[/latex] sinon [latex]n=n_2[/latex]. Par le jeu des sommes avant ou après le k-ième cadeau durant le n-ième anniv, on arrive à: [latex]Type(k)=1+PE[\frac{-1+\sqrt{Delta}}{2}]$$
où
$$Delta=1+\frac{4n(n+1)(n+2)}{3}-8k$$ $$PE[/latex] = fonction partie entière. Ah!!! j'avais oublié mon AN: [latex]k=10^9$$
$$n=n_1=1817$$
$Type(10^9)=1704$ (tout le monde l'a trouvé)

Merci à vous!