C'est celui qui gagne qui sert à nouveau ?

Oui, celui qui gagne sert à nouveau.

Saban, il faut prendre en compte le fait que les joueurs A et B peuvent perdre alternativement leurs services, ce qui ne modifie pas le score. C'est là une des difficultés du problème car de fait, les façons de gagner sont infinies.

Je vais expliciter davantage les probabilités:

- probabilité de A de marquer un point (il a le service): 0.6
- probabilité de A de perdre le service: 1-0.6=0.4 (on peut aussi dire que c'est la probabilité de B de récupérer le service)
- probabilité de B de marquer un point (il a le service): 0.5
- probabilité de B de perdre le service: 1-0.5=0.5

Oui, absolument. Je rappelle que si c'est B qui sert, A ne peut pas marquer de point. Il ne peut que récupérer le service (c'est à dire obtenir le droit de servir) ou concéder un point à B.

Oui, même si il me semble que les règles du volley (comme du badminton) ont changé et que maintenant tous les points sont gagnants. D'où ma précision sur le fait que ce sont les anciennes règles qui sont considérées ici.

Tout d'abord, le serveur initial est avantagé, donc il faut savoir si A sert ou pas en premier.
On va supposer que A est le premier serveur (le résultat sera différent pour B servant en premier).

La probabilité que A marque immédiatement 1 point est de 0,6.
Sinon (p=0,4), B sert et la probabilité pour que B marque le point est p=0,2 (=0,4*0,5). Celle que A reprenne le service est de 0,2 aussi (et on se retrouve dans la même situation de service et de score que au début.

Donc quand A a le service, A a 3 fois plus de chance (0,6/0,2) de marquer un point que B.

Donc quand A a le service, la probabilité que le prochain point soit marqué par A est de 0,75

Lorsque B a le service, la probabilité que B marque immédiatement est de 0,5.
Sinon, (p=0,5), A sert et la probabilité pour que A marque le prochain point est de p=0,6*0,5=0,3.

Donc, quand B a le service, B a 5 chance sur 8 de marquer le point suivant.
Donc quand B a le service, la probabilité que B marque le prochain point est de 0,625.

Ce petit calcul intermédiaire permet de s'affranchir des séquence d'échanges de services sans point marqué.

Ensuite, il faut parcourir toutes les branches d'un arbre de choix à chaque étape...
victoire 21-0 : proba =0,75^21
victoire 21-1 : proba = 0,75^20*0,25*0,375*21 (il y a 21 chemins possibles correspondant au score de A lorsque B a marqué son point).
Après, cela devient fastidieux ! Mais ça peut donner des idées !

Afin de visualiser un peu, j'ai calculé avec excel les chances de gagner une partie en 1,2 ou 3 points, elles sont respectivement de 75%, 70,3% et 69,9%.
On s'aperçoit que pour les parties courtes les chances de gagner diminuent avec le nombre de points à marquer. Par contre, pour un nombre de points tendant vers l'infini, A a 100% de chances de gagner : il y a donc un nombre de points dans la partie qui minimise les chances de A de l'emporter

Voici ma façon de raisonner :

On note [latex]P(x,y)[/latex] la probabilité que A gagne lorsqu'il sert, qu'il lui reste [latex]x[/latex] points à faire, et qu'il reste [latex]y[/latex] points à faire à B.

On note [latex]Q(x,y)[/latex] la probabilité que A gagne lorsqu'il reçoit, qu'il lui reste [latex]x[/latex] points à faire, et qu'il reste [latex]y[/latex] points à faire à B.

On a :
[TeX]P(x,y) = 0,6\times P(x-1,y) + 0,4\times Q(x,y)[/TeX][TeX]Q(x,y) = 0,5\times P(x,y) + 0,5\times Q(x,y-1)[/TeX]
On en tire :
[TeX]P(x,y) = 3/4\times P(x-1,y) + 1/4\times Q(x,y-1)[/TeX][TeX]Q(x,y) = 3/8\times P(x-1,y) + 5/8\times Q(x,y-1)[/TeX]
De plus [latex]P(0,y)=1[/latex] et [latex]Q(x,0)=0[/latex]

On peut ainsi calculer les [latex]P(x,y)[/latex] et [latex]Q(x,y)[/latex] de proche en proche.

On peut faire le calcul avec EXCEL ou PYTHON.

Tu as raison.

En fait, inutile de définir les [latex]Q(0,y)[/latex], on ne s'en sert pas.

Je modifie ça.

Si tu es adepte de Python, mieux que les simulations, voici un programme qui calcule directement les valeurs des probabilités :

p = [[0]*22 for i in range(22)]
q = [[0]*22 for i in range(22)]

p[0]=[1]*22

for x in range(1,22):
    for y in range(1,22):
        p[x][y] = 3/4*p[x-1][y]+1/4*q[x][y-1]
        q[x][y] = 3/8*p[x-1][y]+5/8*q[x][y-1]

print(p[21][21])

@titoufred #19 :
En effet, c'est plus satisfaisant. On peut ajouter que q[21][21] est la probabilité pour A de gagner si B sert le premier.

Si pa et pb sont les probabilités respectives de A et B de gagner lorsqu'ils servent, la formule générale est :
[TeX]$p[x][y] = (pa*p[x-1][y] + (1-pa)*pb*q[x][y-1]) / (1-(1-pa)*(1-pb))$[/TeX]
[TeX]$q[x][y] = (pa*(1-pb)*p[x-1][y] + pb*q[x][y-1]) / (1-(1-pa)*(1-pb))$[/TeX]

OK, un internaute m'a indiqué que sur Python, la fonction for est mal foutue (une histoire d'intervalle ouvert). Du coup, j'avais une erreur dans mon programme. Je trouve bien 82.06, comme vous tous.

Merci de votre participation !

0.8260937305021038

Désolé, j'ai les doigts qui se sont mélangés. Je trouve bien la même chose que vous. La formule est donc bonne.