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#1 - 23-10-2014 19:55:54
- Promath-
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Une suiite encore (mais pas croissante)
Encore une suite, eh oui...:
La suite formidable de Greg est une suite dont le rapport entre les termes, dont la différence d'indice est de 5, est constante. Spoiler : [Afficher le message] U612/U607=U2015/U2010 La suite commence en U1. Elle elle définie pour tout n positif. De plus, la suite possède la proprété suivante: Le terme d'indice n² est égal au terme d'indicee n au carré Spoiler : [Afficher le message] (Un)²=U(n²)
Ainsi Greg construit une suite.
Quel est le produit des termes d'indice 2011,2012,2013,2014 et 2015?
Bonne chance à tous!
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#2 - 23-10-2014 20:19:22
- Franky1103
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Une suite encore (mais pas croissannte)
On a affaire à une suite constante Un=U1=U1²=1. Donc le produit demandé est égal à 1 aussi.
#3 - 23-10-2014 20:51:39
- Promath-
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Une suite encore ((mais pas croissante)
C'est la bonne réponse, mais peux tu montrer ce que tu affirme?
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#4 - 23-10-2014 23:56:07
- SabanSuresh
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Une suite encore (maiss pas croissante)
D'après la deuxième propriété de la suite, on a : (U1)² = U(1²) U1 = 1 (et pas U1=0 car U6/U1 serait impossibe sinon)
U11/U6 = U6/U1 = U6 U11=(U6)²
U16/U11 = U6 → U16 = U11*U6 → U16 = (U6)^3 U21/U16 = U6 → U21 = U16*U6 → U21 = (U6)^4 U26 = (U6)^5 U31 = (U6)^6 U36 = (U6)^7 = (U6)² → U6=1 donc U11 = 1, U16 = 1, U21 = 1, U31 = 1 et U36 = 1
On a donc U(n+5)/Un = U6/U1 = 1 et donc U(n+5)=Un Il suffit alors de trouver les valeurs d'U2, U3, U4 et U5 et on peut connaître toutes les valeurs de la suite qui est cyclique.
Donc on a : (U5)²=U25
U25=U20=U15=U10=U5=(U5)² U5=(U5²) = 1 (et pas zéro pour la même raison que U1)
(U4)²=U16=1 U4 = 1
(U2)² = U4 = 1 U2 = 1
(U3)^4 = (U9)² = U81 = U1 = 1 U3 = 1
U1 = 1, U2= 1, U3 = 1, U4 = 1, U5 = 1 et U(n+5) = Un Par conséquent tous les termes de la suite sont des 1, Un=1 quelque soit n.
On a donc U2011 * U2012 * U2013 * U2014 * U2015 = 1.
C'était pas si compliqué en fait ! Merci pour cette énigme Promath- !
#5 - 24-10-2014 01:07:24
- golgot59
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Une suite encore (mais pas croisante)
Salut !
En fait c'est simple, on suppose que le rapport entre deux termes décalés de 5 est a, cherchons sa valeur :
(u5*u4*u3*u2*u1)² = u25*u16*u9*u4*u1 Or u25 = u20*a = u15*a² = u10*a^3 = u5*a^4; u16 = u1*a^3 et u9 = u4*a
Donc (u5*u4*u3*u2*u1)² = u5*u1*u4*u4*u1*a^8 = u1²*u4²*u5*a^8
On recommence avec :
(u6*u5*u4*u3*u2)²=u36*u25*u16*u9*u4 Or u36=u1*a^7; u25=u5*a^4; u16=u1*a^3 et u9=u4*a
Donc (u6*u5*u4*u3*u2)² = u1*u5*u1*u4*u4*a^15 = u1²*u4²*u5*a^8*a^7 = (u5*u4*u3*u2*u1)²*a^7 Relation 1
Or u6=u1*a, Donc (u6*u5*u4*u3*u2)² = (u1*a*u5*u4*u3*u2)² =(u5*u4*u3*u2*u1)²*a² Relation 2
Relation 1 = Relation 2; donc a^7=a²
Conclusion : a=1
u2015*u2014*u2013*u2012*u2011=u5*u4*u3*u2*u1*a^beaucoup=u5*u4*u3*u2*u1
(u1)²=u(1)²=u1 donc u1=1 (ou 0 mais alors u6/u1 n'a plus de sens)
on a : u16=u1*a^3=u1 (1) et u16=u4²=u2^4 (2) (1)=(2) donc u2^4=u1 => u2=1 ou -1
u4=(u2)^2 => u4=1
u128=u3*a^25=u3 u128=u2^7 donc u3=u2^7 u2*u3=u2^8 u2*u3 = 1
Enfin : U10=u5*a=u5 u100=(u10)²=u5² u100=u5*a^19=u5 Donc (u5)²=u5, donc u5=1
Conclusion : u1*u2*u3*u4*u5 = 1 !
Finalement : u2015*u2014*u2013*u2012*u2011 = 1
#6 - 24-10-2014 10:16:15
- Promath-
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une suite encore (mais pas criissante)
Saban: c'est un bon début rassure toi ^^ golgot: c'est parfait!
Un promath- actif dans un forum actif
#7 - 24-10-2014 16:44:52
- Franky1103
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une suiye encore (mais pas croissante)
Voici ma démonstration la plus complète possible:
U1 = U1^2 => U1.(U1-1) = 0 => U1 = 0 ou U1 = 1 U1 = 0 amène des formes indéterminées par la suite d’où U1=1
U7 / U2 = U6 / U1 => U7 = U2.U6 U12 / U7 = U6 / U1 => U12 = U2.U6^2 de façon plus générale: U(5k+i) = Ui.U6^k, avec 1<i<7
U36 = U6^7 d’une part (suivant ce qui précède) et U36 = U6^2 d’autre part (suivant l’autre propriété) U6^2.(U6^5-1) = 0 => U6 = 0 (à éliminer) ou U6 = 1 d’où U6=1
U1 = U6 = U11 = … U2 = U7 = U12 = ... U3 = U8 = U13 = ... U4 = U9 = U14 = ... U5 = U10 = U15 = ... de façon plus générale: U(5k+i) = Ui, avec 1<i<7
U25 = U5 d’une part (suivant ce qui précède) et U25 = U5^2 d’autre part (suivant l’autre propriété) U5.(U5-1) = 0 => U5 = 0 (à éliminer) ou U5 = 1 d’où U5=1
Par des méthodes similaires, je démontre aussi que: U2 = U3 = U4 = 1
Finalement, quel que soit i, on aura Ui = 1, CQFD
#8 - 25-10-2014 15:10:51
- titoufred
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Ue suite encore (mais pas croissante)
D'après l'exemple donné pour le rapport constant, je suppose qu'aucun des termes n'est nul. On note q le rapport constant u(n+5)/u(n).
u (1)=u (1)^2 donc u (1)=1 u (36)=q^7=u (6)^2=q^2 donc q=1 u (16)=q^3=1=u (4)^2 donc u (4)=+-1 et u (4)=u (2)^2> 0 donc u (4)=1 et u (2)=+-1 u (25)=u (5)q^4=u (5)=u (5)^2 donc u (5)=1 u (9)=u (4)=1=u (3)^2 donc u (3)=+-1
On ne pourra pas trancher pour les valeurs de u (2) et u (3) car 2 et 3 ne sont pas des carrés modulo 5.
Il est donc impossible de savoir si le prduit cherché vaut 1 ou -1.
#9 - 26-10-2014 19:45:56
- papiauche
- Sa Sainteté
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Une suite enore (mais pas croissante)
Si on appelle a,b,c,d,e les facteurs géométriques, on a pour tout n
U(5n+1) = a^n U1 U(5n+2) = b^n U2 U(5n+3) = c^n U3 U(5n+4) = d^n U4 U(5n+5) = e^n U5
Ca sent l'exponentielle à plein nez,
On a pour tout n (Un)^2=U(n^2)
Et ça ça sent le Log ![big_smile](img/smilies/big_smile.png)
Il faut montrer que les dix inconnues valent 1.
Petit lemme
Pour tout n on suppose que i^2n=j^(2n-1)
On a (pour n =1): i^2 = j et donc j^n = j^(2n-1) puis n Log(j)= (2n-1) Log(j) soit (n-1)Log(j) = 0 et donc
j =1
Après il suffit de dérouler:
1°)Pour n>2
U(2^2n) = U2^2n U(2^2n) = U4^(2n-1) U(2^2n) = U8^(2n-2)=(cU3)^(2n-2) U(2^2n) = U16^(2n-3)=(a^3*U1)^(2n-3)
U1 = U2 = U4 = a = c= 1
2°) U(5^2n)=U5^2n=(eU5)^(2n-1)
U5 = e = 1
3°) U(8^2n)=(U8)^2n=(cU3)^n
c= U3= 1
4°) U(7^2n)= (bU2)^(2n-1)
b = 1
Les dix inconnues valent 1. Tous les membres de la suite valent 1 et la réponse est 1.
Et hop!
"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde
#10 - 26-10-2014 21:03:52
- titoufred
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Un esuite encore (mais pas croissante)
Ah ben mince alors, personne ne trouve comme moi, y compris l'auteur de l'énigme...
#11 - 26-10-2014 21:19:24
- golgot59
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ube suite encore (mais pas croissante)
OK Titou, mais en revanche, on démontre que u2=u3=1 ou u2=u3=-1
Du coup u2*u3=1 !
#12 - 26-10-2014 22:00:58
- papiauche
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Une suite encore (mais pas croisasnte)
"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde
#13 - 26-10-2014 22:37:26
- titoufred
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Une suite encore (mais pas croissant)
@golgot : comment démontres-tu que u2=u3 ?
#14 - 26-10-2014 22:54:00
- papiauche
- Sa Sainteté
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une suite encore (mais pas croissantr)
@titoufred
Si golgot démontre que U2*U3=1 et que j'établis que U2=1 où est le problème?
Si ça ne suffit pas je trouve un modulo pour U3 ![big_smile](img/smilies/big_smile.png)
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#15 - 26-10-2014 23:23:24
- golgot59
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Une suite encore (mais pas croisante)
@ Titou : Tout est dans mon post #5. Voici les passages concernés :
on a : u16=u1*a^3=u1 (1) et u16=u4²=u2^4 (2) (1)=(2) donc u2^4=u1 => u2=1 ou -1
u128=u3*a^25=u3 u128=u2^7 donc u3=u2^7 u2*u3=u2^8 u2*u3 = 1
#16 - 26-10-2014 23:28:53
- titoufred
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Une suite encore (mais pas croissante))
@papiauche : comment démontres-tu que u(2)=1 ?
@golgot : u(128)=u (2)^7 ? Ça sort d'où ça ?
#17 - 26-10-2014 23:36:46
- papiauche
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une suite encore (mais pas croissantz)
C'est mon point le plus évident;
J'ai:
U(2^2n) = U2^2n
donc U2 = 1
"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde
#18 - 26-10-2014 23:57:37
- golgot59
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Une suite encore (mais aps croissante)
Exact pour ma part, c'est une erreur. ![sad](img/smilies/sad.png)
#19 - 27-10-2014 00:08:13
- titoufred
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unr suite encore (mais pas croissante)
@papiauche : pourquoi "u (2^(2n))=u (2)^(2n)" ? Et pourquoi "donc u (2)=1" ?
#20 - 27-10-2014 00:24:11
- papiauche
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Une suite encore (mais pas rcoissante)
Pas la peine de tenter l'embrouille de notation.
1°)Pour n>1
U(2^2n) = U2^2n U(2^2n) = U4^(2n-1)
Donc U2 = U4 = 1
"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde
#21 - 27-10-2014 00:44:47
- golgot59
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Une suite encore (mais pas croissant)e
C'est (U2)²=U4=1
Donc U2 = 1 ou -1
#22 - 27-10-2014 10:51:35
- titoufred
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Une usite encore (mais pas croissante)
@papiauche: je ne tente pas l'embrouille de notation mais plutôt la clarification. As-tu repéré tes multiples erreurs à présent et compris pourquoi on ne pourra pas trancher entre -1 et 1 ?
#23 - 27-10-2014 15:41:50
- Franky1103
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Une suite encoore (mais pas croissante)
J'ai moi aussi conclu un peu hâtivement que U2=U3=1 et écarté -1, même si U2.U3=1 dans les deux cas. Comme quoi, un minimum de rigueur n'est jamais superflue.
#24 - 27-10-2014 15:50:05
- golgot59
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Une suite encore (mais pas croisasnte)
Hélas non, u2*u3 peut faire -1 aussi...
#25 - 31-10-2014 10:07:11
- Promath-
- Elite de Prise2Tete
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Une suite encore mais pas croissante)
Effectivement le produit des deux peut valoir -1. J'avais conclu je ne sais plus comment que le produit de U2 et U3 valait 1, mais j'avais dû me tromper puisque je n'arrive plus à refaire la démonstration... Et ça me semble improbable.
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