Il me semble que personne n'a compris le problème , la formulation n'était donc vraiment pas claire .

Imaginons une grille cloutée infinie dont les clous sont les points à coordonnées entières d'un repère orthonormé . Entre les clous , on pose une tige parallèle à l'un des axes de coordonnées et on essaie de la retourner sans traverser les clous . Sur une grille infinie , c'est toujours possible mais si on limite le cadre des opérations , la manœuvre devient plus délicate .



Vasimolo

PS : flèches rouges = point de blocage . Segments verts = glissement avant rotation .

PPS : c'est un problème personnel donc pas de solution garantie sans faille

Pour ne pas laisser en plan la question...

Je trouve une formule générale approximative N=y(2L-rac(x²+y²)/rac(x²+y²)
On cherche le max de N pour cette formule.
Pour L=40, je trouve un max de N avec x=1 et y=5 de 74, qu'il faut corriger en N=75.
(x,y) sont les dimensions d'un triangle rectangle placé dans le milieu du carré, cas le plus défavorable.

Un peu compliqué à développer pour l'instant. J'ai lancé cette valeur de 75 en fonction de mon idée. J'imagine que tu as dû aussi de ton coté trouver une valeur, j'aimerais bien la connaitre.

Que ce soit pour les grilles de nombre d'unité pair ou impair, ce qui limite la méthode de retournement c'est la rotation la plus contraignante :



Pour une grille de [latex]n[/latex] unités la longueur maximale [latex]L[/latex] de la barre pour qu'elle puisse être retournée vaut donc :



Pour [latex]L[/latex] [latex]=[/latex] [latex]4[/latex][latex]0[/latex] on trouve [latex]n[/latex] [latex]=[/latex] [latex]4[/latex][latex]1[/latex].

Plus généralement pour une valeur de [latex]L[/latex] fixée on trouvera [latex]n[/latex] [latex]=[/latex] [latex]L[/latex] [latex]+[/latex] [latex]1[/latex].

Ça me parait me parait trop simple, j'ai sans doute du passer à coté de quelque chose

Il faut arriver à faire 1/8 de tour (45°), et c'est gagné.
La suite s'obtient par symétrie.

On peut essayer avec des baguettes de longueurs 2, 3, 4, etc...
et regarder si OEIS donne la séquence des dimensions nécessaires
d'après les premières valeurs trouvées.

Vasimolo a écrit:

Sauf erreur , les premières valeurs de t(n) : 1 ; 2 ; 2 ; 2V2 ; 3 ; 4 ; ...

Sauf erreur aussi , ces valeurs sont fausses.

Grille de dimension 1 : barre de longueur 1 OK
Grille de dimension 2 : barre de longueur 2 OK
Grille de dimension 3 : barre de longueur 2 Bah, non, 2 rac(2) ça passe
Grille de dimension 4 : Pas encore réfléchi mais j'aurais tendance à être d'accord avec sydre

Quoique je rajouterais un facteur (n-2)/(n-1)

Pour ma part, j'ai trouvé que pour une longueur L de segment, il fallait à peu près un coté C de valeur 2L -(2L)^(1/3).

Au risque de me répéter : 3 => 2rac(2)
Même si j'ai eu la flemme de faire le second quart de tour.

Je dirais que le point crucial est le passage d'un point autour du centre par une extrémité de la barre.
Dans les dimensions impaires, on est donc limité par le passage de la diagonale [(n+1)/2] rac(2)

Dans les dimensions paires, on gagne un cran car on tourne autour du point central sans le franchir:
Pour 4, cela donnerait 3/2 rac(5)

On doit tendre vers un rapport (n+1)/2 rac(2) sinon, on ne franchira pas le point central de la diagonale et on sera borné à un quart de la grille.

En fait, je pense qu'il faut raisonner sur un quart de grille plus éventuellement le carré central.

Je penche pour : 1 / 2  / 2,82 / 3,35 / 4,24 ...

Bah c'est  plus rigolo quand c'est mieux expliqué

La formule que j'ai sortie est une approximation d'autant plus proche de la réalité qu'on augmente la valeur du segment. Elle est issue de la formule générale qui avait été citée plus haut.
Je ne me suis pas du tout intéressé aux cas particuliers des petits carrés. Et j'ai cherché la taille du coté en fonction de la longueur du segment et non l'inverse.

Vasimolo a écrit:

Si on inverse ta relation on obtient tes barres de taille :

1,16 ; 1,76 ; 2,34 ; 2,90 ; 3,45 ; 4,00 ; ...

Que l'on peut comparer aux valeurs que j'ai fourni :

1,00 ; 2,00 ; 2,00 ; 2,82 ; 3,00 ; 4,00 ; ...

L'estimation a l'air assez bonne .

Il me semble important de se mettre d'accord sur les valeurs exactes de la barre pour les premières tailles de la grille si on veut avoir une petite idée pour les suivantes .

Vasimolo

PS : j'ai proposé le problème à plusieurs sites de maths et tout le monde sèche
PPS : j'ai fouillé un peu sur la toile pour voir si le problème était connu mais je n'ai rien trouvé

J'avais bien compris Nodgim

Chercher une tendance pour les grands carrés n'est certainement pas inutile , on peut aussi chercher les valeurs exactes pour les petits carrés 

Vasimolo