![](/img/vague-bas-gauche.png) |
#1 - 25-01-2015 11:08:13
- Promath-
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 18
- Messages : 1416
- Lieu: Au fond de l'univers
Exponntielle
Petite énigme qui vient d'une question que je me suis posée l'autre jour
On considère un plan muni d'un repère orthonormé. On considère l'ensemble des droites du plan. Quel pourcentage (probabilité) parmi elle coupent la courbe représentative de la fonction exponentielle?
![http://www.kartable.fr/upload_fichier/img/TS01303-02.PNG](http://www.kartable.fr/upload_fichier/img/TS01303-02.PNG)
On arrondira au dixième près et on donnera la répons sous cette forme: 99.5 Rien n'est plus (in)utile que l'illustration?
Un promath- actif dans un forum actif
#2 - 25-01-2015 11:30:00
- Vasimolo
- Le pâtissier
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 5,418E+3
xEponentielle
Bonjour Promath
Je crains que ta question n'ait pas vraiment de sens : faire des pourcentages sur des quantités même pas dénombrables ![mad](img/smilies/mad.png)
Tu veux sans doute parler de probabilité mais il faut alors préciser les paramètres que tu as choisi .
Mathématiquement choisir une droite au hasard parmi toutes les droites du plan ne veut rien dire .
Vasimolo
#3 - 25-01-2015 16:04:29
- eudoxie
- Habitué de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 12
- Messages : 33
rxponentielle
Je ne comprends pas comment on peut donner une réponse sous forme de % à cette question... Les droites du plan sont la données de deux points et sont donc assimilables à R x R x R x R ... (4 coordonnées en tout) .. Il s'agit donc d'un ensemble ... infini. Pour établir un pourcentage ( POUR CENT... ) il faudrait pouvoir compter le nombre de droites et établir combien parmi celles-ci ont la bonne propriété... ce qui me semble impossible
Posons la question en terme de probabilité. Je reformule le problème : deux points étant choisis au hasard dans la plan, quelle est la proba que la droite joignant ces deux points coupe la courbe donnée.
La courbe coupe la plan en deux sous-plans que j'appelle "au-dessus" et en "dessous". Ces deux demi-plans sont équipotents.
Choisissons un point A au hasard. Proba que A soit au-dessus de la courbe : 0.5. Quel que soit maintenant le point M choisi (avec quand même M différent de A) la droite (AM) coupe la courbe.
Choisissons A en dessous de la courbe, et construisons la tangente à la courbe passant par A et un unique point (g, h) , tel que h = exp(g) et g l'abscisse du point de tangence. Graphiquement on voit bien que pour un point M(x; y) quelconque , si a x <g alors la droite (AM) ne coupe pas la courbe, et si x> g alors la droite (AM) coupe la courbe . Comme il y a autant de réels dans l'intervalle de moins l'infini à g que dans l'intervalle qui va de g à plus l'infini, la proba d'avoir une droite passant par A coupant la courbe est 0.5 .
Finalement la probabilité cherchée serait : 0.5 + 0.5 x 0.5 soit 0.75.
#4 - 25-01-2015 17:37:05
- Promath-
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 18
- Messages : 1416
- Lieu: Au fond de l'univers
Exonentielle
Bon. Effectivement, j'aurais dû parler de probabilités exprimées sur 100.
Eudoxie: Très bien! Plus rapide que ma solution! ![smile](img/smilies/smile.png)
Un promath- actif dans un forum actif
#5 - 25-01-2015 17:37:48
- masab
- Expert de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 44
- Messages : 971
exponentiellz
Le pourcentage est de 75.0 % . On classe les droites suivant leur intersection avec l'axe Ox ainsi que leur angle avec l'axe Ox. On pose phi(x) = atan(exp(x))/Pi Notons que atan(exp(x)) est l'angle en radians (avec Ox) de la tangente en (x,exp(x)) au graphe de exp(x).
La probabilité qu'une droite ne coupe pas le graphe lorsqu'elle passe par un point de [-x,x]*{0} est égale à l'intégrale
P(x) = (1/(2x)) * int_{-x}^{x) phi(t) dt
On a phi(t) + phi(-t) = 1/2 Il en résulte facilement que P(x) = 1/4 Donc P(x) -> 1/4 quand x -> infini
La probabilité qu'une droite ne coupe pas le graphe est donc 1/4 . La probabilité qu'une droite coupe le graphe est donc 3/4 =75/100.
PS Certains diront avec raison que cela dépend de la mesure que l'on met sur l'ensemble des droites du plan...
#6 - 25-01-2015 18:05:29
- enigmatus
- Expert de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 561
exponentoelle
Bonjour, Tout dépend de la façon dont on va "choisir au hasard" une droite du plan. Je propose cette méthode :
Choix au hasard d'une direction alpha = angle(Ox,D), 0 ≤ alpha < π, avec une loi de probabilité uniforme a) 0 ≤ alpha < π/2 : Il existe une tangente à la courbe, parallèle à D, qui divise le plan en 2 demi-plans. Choix au hasard de l'un d'eux (probabilité 1/2) : toute droite parallèle à D tracée à partir de n'importe quel point du demi-plan supérieur (resp. inférieur) coupe (resp. ne coupe pas) la courbe. b) π/2 ≤ alpha < π : Toute droite parallèle à D coupe la courbe.
Avec cette façon de choisir, la droite D coupera la courbe avec une probabilité de 75% (1/2*1/2 + 1/2)
#7 - 25-01-2015 18:36:45
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 3801
exponzntielle
75%. On peut assimiler l'exponentielle avec les demi droites x=0 y>0 et y=0 x<0. Une droite s'exprime par ax+b. Il faut a>0 et b<0.
#8 - 25-01-2015 19:30:50
- Promath-
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 18
- Messages : 1416
- Lieu: Au fond de l'univers
Exponentiele
Bon, bon, bon! Tout bon ![smile](img/smilies/smile.png) masab: je n'ai pas compris d'où sort la formule mais le coeur y est ![wink](img/smilies/wink.png) Nodgim: et dans ce cas: y=x+0.1?
Un promath- actif dans un forum actif
#9 - 25-01-2015 20:09:30
- gwen27
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 5,952E+3
Eponentielle
Je ne sais pas le calculer, mais si on connait la valeur de a pour la tangente a.x à e^x, on prend l'angle de cette tangente, on lui rajoute pi, et on divise par 2.
On a le rapport à 2 PI, sauf erreur.
Mais elle est où cette sale*** de droite passant par l'origine et tangente à e^x ?
Je dirais y=e.x
Donc atan (e) serait la solution... 1.2183 +pi = 4.3598....
Donc, sur 2 pi, ça donne 69.3 % à diviser par 2.
34.6 qui n'est pas validé.
#10 - 25-01-2015 20:50:30
- gwen27
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 5,952E+3
Exponentille
J'ai déjà vu un truc du genre avec diverses solutions selon les points de vue... je pense que ton énigme se heurte aux conditions de tracé de la droite.
Quelles sont les facteurs que tu prends en compte pour déterminer ta droite ? un point fixe et une rotation ? a et b avec ax +b ?
#11 - 25-01-2015 22:55:56
- Promath-
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 18
- Messages : 1416
- Lieu: Au fond de l'univers
Exponentiellle
Bon alors non c'est de l'ordre de deux fois plus Clairement j'y ai repensé en me posant la question de la distance moyenne de deux points sur un cercle. Énigme équivalente pour une sphère sur le site.
Pour les conditions de tracé, je pense que quelque soit les conditions du moment que celles ci sont equivalentes on tombe sur la reponse attendue (que je crois etre bonne mais je n'ai pas de preuve que ma methode de selection de droite est viable)
Édit: je souhaite tout de même faire un post un minimum constructif ^^ on saisit deux points au hasard dans le plan. La probabilite qu'aucun des deux ne soit en haut à gauche est de 9/16 mais donc moins de 60%. Donc la probabilite recherchee est tres grossierement minoree par 7/16
Un promath- actif dans un forum actif
#12 - 25-01-2015 23:39:24
- kossi_tg
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 18
- Messages : 307
- Lieu: Montargis
Exponentille
Amateur de la programmation informatique , j'y suis allé avec un tout petit code qui me sort 74.997502% de probabilité. La case réponse valide les 75.0 ![wink](img/smilies/wink.png)
#13 - 26-01-2015 00:03:51
- Promath-
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 18
- Messages : 1416
- Lieu: Au fond de l'univers
Exponenntielle
Des preuves! ![smile](img/smilies/smile.png)
Un promath- actif dans un forum actif
#14 - 26-01-2015 19:17:45
- abel3
- Amateur de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 3
#15 - 26-01-2015 23:06:54
- titoufred
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 20
- Messages : 1749
exponentiemle
@Promath- : Tu parles de choisir un point au hasard dans le plan, comment fait-on ?
#16 - 28-01-2015 15:52:05
- Nombrilist
- Expert de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 10
- Messages : 568
exponentiellz
La loi uniforme, même continue, n'autorise pas à travailler sur un intervalle avec des bornes non finies.
Kossi, comment tu as fait pour programmer un tirage aléatoire sur R entier ?
#17 - 28-01-2015 20:34:28
- kossi_tg
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 18
- Messages : 307
- Lieu: Montargis
Expponentielle
J'ai fait un tirage sur ]-m ; m[ avec avec m=1E300.
Le pourcentage a décrit une courbe logarithmique avec environ 72% à m=100 pour atteindre une limite de 75% à partir de m=1E100.
La méthode: je tire 4 réels xa, xb, ya, yb et je vérifie si la droite passant par A(xa, ya) et B(xb, yb) coupe la courbe y=exp(x) ou pas.
#18 - 28-01-2015 22:26:00
- Franky1103
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 3218
- Lieu: Luxembourg
Exponenteille
Si Nombrilist le veut bien, on pourra considérer que le 10^300 de kossi_tg, ce n'est pas vraiment l'infini, mais presque ![lol](img/smilies/lol.png)
#19 - 28-01-2015 22:59:50
- Vasimolo
- Le pâtissier
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 5,418E+3
Exponentiell
Et pourquoi le hasard placerait-il préférentiellement les quatre coordonnées au voisinage de zéro ?
Vasimolo
#20 - 29-01-2015 00:06:32
- ThomasLRG
- Habitué de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 41
- Messages : 31
exoonentielle
Personnellement je préfère les nounours.
Du coup au lieu de tirer des points dans un carré qui grossit, je les tire dans un nounours de plus en plus énorme !
a étant un réel donné (qu'on va faire tendre vers plus l'infini), je tire uniformément des points dans un rectangle [-a,a]x[-a,2 a] et je ne garde un point que s'il appartient à l'un des disques suivants : notation : (centre.x,centre.y) rayon (0,0) a (0,4a/3) a/2 (-a/4,7a/4) a/5 (a/4,7a/4) a/5 (-3a/4,2a/3) a/4 (-3a/4,-2a/3) a/4 (3a/4,2a/3) a/4 (3a/4,-2a/3) a/4
On obtient un tirage uniforme de point sur un nounours Et les nounours c'est mieux que les carrés, parce qu'en tirant 2 points dans un nounours, la probabilité que la droite passant par ces 2 points coupe la courbe de la fonction exp (calculée empiriquement) tend vers environ 0,80 (c'est mieux que 0,75 !)
Mais attention à ce qu'il n'ait pas la tête en bas, parce qu'alors la probabilité chute en dessous de 0.70 ![sad](img/smilies/sad.png)
Thomas
#21 - 29-01-2015 18:50:34
- kossi_tg
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 18
- Messages : 307
- Lieu: Montargis
ewponentielle
@ Thomas: R est un ensemble centré en zéro: si X est élément de R alors -X est élément de R. Donc si (X;Y) est élément de RxR alors (-X;Y), (X;-Y) et (-X;-Y) sont aussi éléments de RxR. Comment vas-tu satisfaire ces propriétés de RxR en utilisant un rectangle?
Vasimolo écrit :"Et pourquoi le hasard placerait-il préférentiellement les quatre coordonnées au voisinage de zéro?". Je ne sais pas si ta question vient du fait que j'ai utilisé un intervalle centré en zéro ou pas mais cet usage vient du fait que R soit un ensemble centré en zéro. Sinon, tu peux mieux expliciter la question.
#22 - 29-01-2015 19:53:28
- gwen27
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 5,952E+3
exponentielke
Moi, je ne comprends toujours pas... Toute droite de coefficient directeur négatif croise la courbe donc , au risque de me répéter, si je choisis ce critère pour définir une "droite" on ne peut pas atteindre plus de 50% vu que la moitié des droites y correspondraient.
#23 - 29-01-2015 20:27:57
- golgot59
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 48
- Messages : 1494
- Lieu: Coutiches
Exxponentielle
Salut Gwen.
Je crois que tu as mal lu l'énoncé : Quel pourcentage (probabilité) parmi elle coupent la courbe représentative de la fonction exponentielle?
Au moins 50%, c'est bon non ?
#24 - 29-01-2015 21:02:08
- Nombrilist
- Expert de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 10
- Messages : 568
Exponentiell
Je me trompe peut-être, mais je ne pense pas que l'on puisse affirmer que l'infini a un centre. De toute façon, comme je l'ai dit, la loi uniforme continue ne peut se modéliser que sur un intervalle borné.
#25 - 29-01-2015 22:16:11
- golgot59
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 48
- Messages : 1494
- Lieu: Coutiches
exponenyielle
Je suis d'accord avec toi, le problème du "centrage" me perturbe aussi...
Mots clés des moteurs de recherche
|
![](/img/vague-haut-droite.png) |