Pour être sûr de comprendre la question: le chemin de coulis est il fait au hasard (dont le plus long est possible) ou optimisé (au plus court) ?

Je propose un serpent qui balaye horizontalement le gâteau, comme sur l'image suivante :



Dans le pire des cas, il effectue 49 balayages horizontaux de 20 cm, et se déplace au total 20 cm verticalement.

49*20+20 = 1000 cm = 10 m, cqfd

Pour proposer mieux, j'attends un classement des meilleures propositions, pour me motiver

Depuis chaque sommet, on trace un arc de cercle de rayon 20 cm. ça partage le carré en 9 zones. Entre 2 pts extrêmes de chacune de ces zones il y a moins de 20cm. Entre 2 zones voisines il y a moins de 20 cm. Comme il y a 48 segments entre les 49 pts, La distance totale est <48*20 cm=9m60.

Le plus intéressant serait de calculer la plus longue distance minimale. Mais c'est autrement plus compliqué.

On découpe le carré en n bandes. Il y a 49 myrtilles sur ces n bandes. On les parcourt ainsi de gauche à droite, puis on descend d'une bande que l'on parcourt de droite à gauche, puis on descend, de gauche à droite et on obtient un serpent en descendant. Le parcours en x sera au maximum de 20n. Le parcours en y sera de 20/n*48 auquel il faut ajouter n sauts (de longueur 20/n supplémentaire) entre deux bandes ce qui fait une longueur totale de 20n+980/n. Une telle "fonction" admet un minimum en 7, avec une longueur totale inférieure à 2.80, ce qui améliore franchement le résultat! Je travaille sur des congruences sur les bandes pour le diminuer encore.

Amélioration du résultat: pour un tel nombre de bandes (8)
On considère une bande quelconque. Si on la parcourt de droite à gauche alors le pire des cas sera celui où on traversera intégralement la diagonale d'un coup pour faire des alternances ensuite haut-bas. On traversera donc 8 diagonales (car 8 bandes) puis on fera au pire des haut-bas. On peut donc réduire la distance finale en ajoutant les 8 diagonales puis en soustrayant les 8 variations en x et en y des diagonales, remplacées par leur variation réelle. Cela donne 2.80-1.6-0.2+8sqrt(0.040625) (la valeur d'une diagonale de bande)
soit 2.8-0.19 donc 2.61

Les résultats commencent à s'affiner

Promath propose deux méthodes ou plutôt une méthode et une variante .

Résultat 2,80 m pour la première et 2,61 m pour la variante .

Ebichu a pris un autre chemin il arrive à 2,94 m .

Peut-on faire encore mieux ?

Vasimolo

En effet , pourquoi ne pas chercher une disposition des myrtilles obligeant le pâtissier à se séparer malgré lui d'un maximum de coulis

On ouvre un 2ème concours ????

Vasimolo

@Promath : tu pourrais détailler ton calcul , c'est assez difficile de décrypter à demi-mot

Vasimolo

Les petits carrés c'est aussi l'idée d'Ebichu , de simples bandes pour Promath et moi-même . Je ne sais rien de la borne inférieure de la longueur de coulis à part qu'elle est inférieure à 3 m : le problème est sûrement ouvert .

Il est aussi amusant de chercher les positions des graines qui vont forcer le pâtissier à répandre au maximum son précieux coulis

Vasimolo

D'accord Promath , ça semble correct

Pour résumer :

Promath : 2,76 m .
Ebichu : 2,94 m .

Je ne parle pas de ceux qui sont encore dans les 10 m

Les solutions proposées montrent qu'il y a encore une très grosse marge mais est-elle exploitable ???

Vasimolo

Pour fixer une borne inférieure à la borne inférieure (donc pour contraindre notre pâtissier à utiliser le plus de coulis, on quadrille avec des myrtilles sur 7*7 de sorte à ce que la distance minimale d'une myrtille à une autre soit de 0.2/6 (7*7 myrtilles qui définissent 6*6 carreaux). Ainsi le chemin le plus court sera de 48*0.2/6 soit de 1,6, on ne peut pas descendre en dessous de cette longueur (mais on peut éventuellement monter, je travaille sur une quinquonce)

Ah ben oui ce 1m60 c'est quand on met les pts aux sommets d'un quadrillage carré. Dans ce cas, on peut bouger les pts jusqu'à une certaine limite (c'est là qu'intervient le triangle équilatéral) et allonger le chemin, sans pouvoir trouver un autre cheminement plus court. Car c'est bien là tout le problème: déplacer les pts pour allonger le chemin, mais pas trop sinon on va trouver un autre chemin plus court.

Je crois que l'on ne fera pas beaucoup mieux que le résultat donné par la stratégie de Promath . Il est d'ailleurs assez curieux de constater qu'une méthode aussi simple fournisse un tel résultat .

Une illustration avec 3 bandes au lieu de 7 :



Trouver une meilleure stratégie devient vite un énorme casse-tête même si on explose le record avec n'importe quel exemple que j’ai pu essayer  .

Un grand merci aux participants

Vasimolo