J'ai rajouté en page 2 de mon pdf une seconde méthode pour prouver que pour tout n>=1, il existe exactement 2 entiers a>1 tels que 10^n divise a^2-a.
Et j'ai indiqué une méthode simple pour calculer les uns après les autres les chiffres des solutions, en partant des chiffres des unités 5 et 6.

On voit assez vite qu'il y a quatre solutions : 0 ; 1 ; .....5 et .....6 .

Combien à n chiffres , ce n'était pas la question ?

Vasimolo

Si Vasimolo!

D'accord je n'avais pas compris masab!

Effectivement si l'on veut des nombres à n chiffres tels que 10^n divise a^2-a, il faut chercher où sont les 0 dans les 2 suites infinies
5, 2, 6, 0, 9, 8,...
6, 7, 3, 9, 0, 1,...
On pourrait aussi chercher si ces suites sont périodiques ou non.
On a là 2 problèmes qui peuvent être ardus...

PS1 Il faut modifier la fin de ma 2ème méthode en remplaçant d=10-u par d=-b(2a-1) mod 10). J'ai rectifié le pdf.

PS2 Notons a1>1 et a2>1 les 2 solutions avec au plus n chiffres telles que 10^n divise a^2-a. On a vu que a1+a2=10^n+1. Cela entraîne que a1 et a2 ne peuvent pas avoir un chiffre 0 au même rang. Donc il y a toujours au moins une solution a ayant exactement n chiffres. Si a1 a pour chiffre 0 à un certain rang, alors a2 a pour chiffre 9 au même rang.

PS3 Une solution a peut avoir plusieurs 0 consécutifs. Il existe une solution à 4985 chiffres commençant par 7000002669...6 . Elle a donc 5 zéros consécutifs ! L'autre solution à 4985 chiffres commence donc par 2999996330...5
(car 9999999999-7000002669=2999996330)

nodgim : on peut retrouver cette propriété en 3 lignes...

Encore faudrait-il écrire ces 3 lignes pour convaincre tous les participants !

Idée : si 10^n divise a^2-a (a avec au plus n chiffres), on pose
a' = 10^n+1-a
Pour prouver que a' est solution, on vérifie (facile) que 10^n divise a'^2-a' .
Par ailleurs les solutions a et a' sont distinctes sinon 2a=10^n+1, ce qui n'est pas possible  pour des questions de parité.
Zut ! Ca ne tient pas en 3 lignes malgré que tout ne soit pas explicité...

masab a écrit:

nodgim : on peut retrouver cette propriété en 3 lignes...

Encore faudrait-il écrire ces 3 lignes pour convaincre tous les participants !

Idée : si 10^n divise a^2-a (a avec au plus n chiffres), on pose
a' = 10^n+1-a
Pour prouver que a' est solution, on vérifie (facile) que 10^n divise a'^2-a' .
Par ailleurs les solutions a et a' sont distinctes sinon 2a=10^n+1, ce qui n'est pas possible  pour des questions de parité.
Zut ! Ca ne tient pas en 3 lignes malgré que tout ne soit pas explicité...

Pas convaincu tout à fait, masab, surtout par le "facile" de la division de a'(a'-1) par 10^n. Je ne dis pas que ce n'est pas bon, mais que ce n'est pas aussi évident que ça. Une petite précision serait utile, tant pis pour les 3 lignes. Sinon, j'ai plus court.

A la fin de votre demo il faut écrire 10^n divise a+b-1 donc a+b=10^n+1.

Votre demo est exacte mais exige de savoir qu'il y a une seule solution terminant par 5 et une seule solution terminant par 6 (partie difficile de la preuve) ; en effet si a et b sont 2 soluions terminant par 5, alors a-b est divisible par 10.

Ma preuve ci-dessus n'exige rien de connu. Elle prouve que si a est une solution et si l'on pose a' = 10^n -a + 1 , alors a' est aussi une solution (cette construction sur a' redonne a). Donc on peut associer les solutions 2 par 2. Cela prouve sans autre considération que le nombre de solutions est pair (éventuellement nul).

Notons que la solution de nodgim entraîne d'avantage de conséquences.
On suppose qu'il exite au moins une solution a à au plus n chiffres terminant par 5 et au moins une autre par 6. Alors d'après la preuve de nodgim on a  a+a' = 10^n+1.
En faisant varier a' il en résulte qu'il n'existe qu'une solution terminant par 6.
En faisant varier a il en résulte qu'il n'existe qu'une solution terminant par 5.

Conclusion. La preuve de nodgim prouve facilement que s'il exite au moins une solution a à au plus n chiffres terminant par 5 et une autre par 6, alors il existe un seule solution a à au plus n chiffres terminant par 5 et une seule solution aussi terminant par 6.

En revanche, masab, je ne comprends pas ta remarque sur l'unicité de la solution se terminant par 5 ou 6. Pour moi, c'est évident et ça se prouve par la construction de ce nombre.

C'est évident par construction; quand on a trouvé n chiffres, il n'y a qu'une seule solution pour le (n+1) ième chiffre.