17^3 + 7^3 = 5256 = (17+7) * 219

a^3 + b^3 est bien multiple de a+b

un multiple de 7 13 17 19 dans l'intervalle 4-19 est donc égal à 7, 13 ou 19, 17 étant inaccessible.

14 est impossible car la somme des cubes serait paire.

a^3+b^3 = (a+b) (a^2 -ab +b^2)

Je reprends avec moins de précipitation.

On cherche a et b ainsi que m et n tous entiers tels que
a^3+b^3=29393

On exprimera la solution sous la forme (a,b,c) en g., g. brouzoufs, avec par convention a<=b.

On a:
a+b=3m+1

Avec:
m>=1 (il y a au moins un caillou)
m<=6 (avec m = 7, il n'y aurait qu'un morceau à la fin)

D'abord 29393=7*13*17*19

On doit tester a+b=7,13 ou19; pour 17, il n'existe pas de m entier.

Ensuite a^3+b^3= (a+b)*((a+b)^2-3ab)

1°) Test a+b = 7

(49-3ab) divise 13*17*19

Test sur les diviseurs par ordre croissant
Pour des raisons de congruence, on élimine 17

1.a 3ab=49-13=36=3*12

(3,4,323) convient.

1.b 3ab = 49-19 =30=3*10

(2,5,221) convient.

2. Test a+b=13.

(169-3ab) divise 7*17*19
2.a 3ab=169-7=162=3*54 (54 trop grand)
2.b 3ab =169-19=150 =3*50 (50 trop grand)
2.c 3ab = 169-7*19=169-133=36=3*12

(1,12,17) convient.

3. Test a+b=19.

(361-3ab) divise 7*13
On élimine encore 17

3.a 361-7=354=3*128 (128 trop grand)
3.b 361-13=348=3*126 (126 trop grand)
3.c 361-7*13=361-91=270=3*90

(9,10,17) convient.

Je pense que la méthode est exhaustive et permet de trouver 4 solutions, sans que que sache en choisir une.

Si, celle de mon premier post

J’arrive bien à trouver les solutions, mais avec une méthode assez "bourrin", très éloignée de l’élégante réponse attendue, qui fait sans doute appel à des propriétés connues sur les équations diophantiennes.

Les deux morceaux pèsent ensemble: 22-3n
Un morceau coûte: k.x³ €, et l’autre: k.((22-3n) - x)³ €
On doit donc résoudre: 29393/k = x³ + ((22-3n) – x)³
k est le prix d’un morceau de 1 gramme.
k est aussi un diviseur de: 29393 = 7.13.17.19
On a alors l’équation du second degré suivante:
3.(22-3n).x² - 3.(22-3n)².x + (22-3n)³ - 29393/k = 0, donnant:
x1 = |1 + (V3/3).{4.29393/[k.(22-3n)³]-1}^(1/2)|.(22-3n)/2
x2 = |1 - (V3/3).{4.29393/[k.(22-3n)³]-1}^(1/2)|.(22-3n)/2

En faisant varier n (entre 1 et 7) et k (sur l’ensemble des diviseurs de 29393), ces formules me donnent les solutions suivantes:
- deux morceaux de 10g et 9g, avec le morceau de 1g valant 17€,
- deux morceaux de 12g et 1g, avec le morceau de 1g valant 17€,
- deux morceaux de 5g et 2g, avec le morceau de 1g valant 221€,
- deux morceaux de 4g et 3g, avec le morceau de 1g valant 323€,
- un morceau de 1g, valant 29393€ (à écarter car un seul morceau).

Les équations de x1 et x2 me donnent 7 (valeurs possibles de n) x 16 (nombre de diviseurs de 29393) x 2 (solutions par équation du second degré) = 224 cas possibles. En réalité, c'est moins que ça car un discriminant négatif stoppe le processus de calcul. Mais j'ai quand même utilisé un tableur pour la phase finale. J'attends avec impatience la solution magique et élégante.

Personnellement j'ai testé des sommes "à l'arrache" vu que les nombres n'étaient pas trop grands

Mais on pouvait y arriver de façon déterministe :

En remarquant que (a+b)^3=(a+b)*((a+b)^2-3*a*b)

Puis en résolvant le système a+b=p
                                          p^2-3*a*b=q

Avec p variant dans {7, 13, 17, 19} et q dans l'ensemble des sous produits.

On arrivait ainsi à la solution en 24 systèmes !

Voici une solution possible:

Notons a et b les masses des sommes taillées, p le coefficient de proportionnalité et s=a+b.
29393=p(a^3+b^3)=p*(a+b)(a²-ab+ab)
29393=p*s*(s²-3ab)
29393=7*13*17*19
29393 est congru à 2 et 7,13,19 congrus à 1 (mod 3)
Mais 22 congru à 1 donc s congru à 1 et s(s²-3ab) congru à 1 (mod 3)
Donc p est multiple de 17 et pas a^3+b^3, on écrit p=17q
1729=q*s(s²-3ab)
1729 admet comme diviseurs 1, 7, 13, 19, 91, 133, 247, 1729

-Si s=19
    (361-3ab)q=91 avec ab=<90 donc 361-3ab>=91
    si 361-3ab=247 alors ab=38 donc pas de solution
    si 361-3ab=133 alors ab=76 donc pas de solution
    si 361-ab=9 alors ab=90 donc (9,10) est solution

-Si s=13
    (169-3ab)q=133 avec ab=<42 donc 169-3ab>=7
    si 169-3ab=133 alors ab=12 donc (1,12) est solution

-Si s=7
    (49-3ab)q=247 avec ab=<12 donc 49-3ab>=13
    si 49-3ab=13 alors ab=12 donc (3,4) est solution
    si 49-3ab=19 alors ab=10 donc (2,5) est solution

Il y a donc 4 couples solution: (1,12); (2;5); (3,4); (9,10).
On reconnaît évidemment le nombre de Hardy-Ramanujan

Bravo à tous pour votre participation et vos bonnes réponses! Une mention spéciale à nodgim et papiauche pour des solutions très bien conduites et présentées!