Je n'ai pas trouvé grand-chose. A un moment j'ai cru que le nombre 11...113 (avec N fois 1 et un seul 3 derrière) avait un RS de N+3, mais dès qu'il y a des retenues, ça ne marche plus [RS(13)=4, ..., RS(11113)=7 mais RS(111113)<>8]. Je rame déjà pour la limite supérieure, alors ne parlons pas de la limite inférieure.

Si tu es prêt à abréger nos souffrances, je suis preneur.

Mince alors oui ça marche bien ce nombre. Et on peut l'agrandir autant que l'on veut.
Soit le nombre 10^(3k+2)-5*10^(2k+2)-5*10^(k+1)-1.
Elevé au carré, il donne un nombre avec une majorité de zéros.

Nombre de chiffres de ce nombre: 9(3k+1)-1
Nombre de chiffres de son carré: 9(k-1)+fixe

Quand k grandit, le rapport tend vers 1/3. Ce n'est pas un super record.

J'ai fait bien des erreurs, puis j'ai abandonné.

Ma piste était N = les n premiers chiffres de racine de 10±epsilon

N² était alors voisin de  10^(2n+1) soit 9999....... ou de 10000...... respectivement
RS(N²) était à comparer avec RS(N), voisin de 4.5*n pour n grand.

Le hic portait sur les derniers chiffres de N² (après les 9 ou les 0).
Il y en a environ n, de moyenne 4.5.
On voit bien que la limite supérieure est infinie.

Pour la limite inférieure, c'est plus délicat.
N grand donne un rapport voisin de 1.
Il faut trouver le "meilleur" arrondi par excès de racine de 10.
WolframAlpha peut aider pour les décimales,
de plus, il sait calculer "sum of digits of".

J'attends la réponse de Vasimolo.

PS Vont-ils enfin nous remettre LATEX ?

Vasimolo a écrit:

On peut faire varier le nombre de 9 et/ou le nombre de motifs

Vasimolo

Bien sûr oui !
Dans ton exemple, on avait 3 groupes de 9. Il suffit de mettre k groupes et de les agrandir. C'est le même principe que pour le max. Le rapport tendra vers 1/k, donc vers 0.
Cela dit, c'est nettement moins facile à manipuler, ces suites de gros nombres....

Impossible à trouver, mais brillant.
Je crois avoir pigé.

Mais

C'est ça Nodgim , après pour mettre tout ça au propre , ça ne doit pas être coton smile

Vasimolo

Sauf votre respect j'ai trouvé des nombres dont le RS est plus petit que 0.3

Laissez moi les retrouver

Où ça?

Faites un post commun avec toute la démo

Vasimolo a écrit:

D'un autre côté quand on regarde :

949^2 , 99499^2 , 999499^2 , ....

puis

94949^2 , 99499499^2 , 99949994999^2 , ...

puis

9494949^2 , 99499499499^2 , 999499949994999^2 , ...

On a l'impression que ça coule de source smile

Vasimolo

Coule de source, tu y a vas fort.

C'est tordu, pas très économique , mais encore une fois brillant.
Intuitivement le carré bat son antécédent mais là, c'est l'inverse.

Sauf erreur de ma part, dans le post #34 de nodgim la valeur fixe est 7.
On prend n_9 successifs, on élargit le motif k fois pour tendre vers 1/n.

P.S.1 Le 48989999 construit sur des valeurs faibles avait son élégance propre.

P.S.2  Dans mon approche avec le puissances de 2 pour la limite sup, je me suis aperçu qu'il manquait dans la démonstration des 0 intercalaires, assez peu nombreux. Du genre 4*256=1024.
L'ensemble restant assez compact.

En quelques lignes.

Youpi

Je vais faire un pdf car les quelques essais d'explication que j'ai commencé à rédiger sont difficilement lisibles sur le site .

Vasimolo

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Message modéré

ash00

A quoi joues tu Bell63 ?
J'imagine bien que Vasimolo est tjs plus ou moins inspiré d'une lecture pour proposer ses énigmes. Mais comme il y a tant et tant de problèmes qui peuvent être posés en math qu'il y a peu de chances qu'on connaisse déja, et c'est bien le principal. Mets donc de coté ton agressivité, ou plutôt tourne là vers des choses positives, ça ne sert à rien ce que tu fais. Je le dis pour ton bien.