Amusant, pas difficile mais je ne connaissais pas:
$$S=\sum_1^ni.i!=\sum_1^n(i+1)i!-i!=\sum_1^n(i+1)!-\sum_1^ni!=\sum_2^{n+1}i!-\sum_1^ni!=(n+1)!-1$$
Merci d'avoir partagé.

Bonjour,

Effectivement, je trouve :
$$\sum_{i=1}^ni.i! = (n+1)! - 1$$
Amusant !

L'explication :
Appelons $Sn$ la somme recherchée.
Alors $Sn+ \sum_{i=1}^ni! = \sum_{i=1}^n{(i+1)}! = \sum_{i=2}^{n+1}i!$
D'où le résultat $Sn = (n+1)! - 1$

Je n'ai aucune notion sur les sommes en générale, désolé,mais je pense que
$\sum_{i=1}^ni.i!$est un nombre impair qui tend vers l'infini, après c'est la seule chose que je peux te dire vue mes connaissances mais j'ai hate de savoir comment faire
Merci pour cette énigme quand même

La bonne réponse était bien $\sum_{i=1}^n i.i! = (n+1)! - 1$

Il y a 2 manières principales pour démontrer ça:
I) Par récurrence. Pour cela, il faut bien sûr avoir une idée préalable du résultat (en ayant écrit les premiers termes par exemple).
$$\sum_{i=1}^1 i.i! = 1 = (2)! - 1$$
$$\sum_{i=1}^n i.i! = (n+1)! - 1 \Rightarrow \sum_{i=1}^{n+1} i.i! = (n+1)! - 1 + (n+1).(n+1)! = (n+1+1).(n+1)! -1 = (n+2)!-1$$
II) Directement. Pour cela, il faut remarquer que $(i+1)! = (i+1).i! = i.i! + i!$
$$\sum_{i=1}^n i.i! = \sum_{i=1}^n (i+1)! - i! = \sum_{i=1}^n (i+1)! - \sum_{i=1}^n i! = \sum_{i=2}^{n+1} i! - \sum_{i=1}^n i! = (n+1)! - 1$$
J'espère que vous avez aimé.