J'ai toujours du mal avec cette notion, même si elle est soit disant prouvée en multipliant le terme par 10, car pour moi, il manque un chiffre au bout, même si il y en a une infinité, comme une baignoire dont on remplirait les 9/10 chaque jour.

Je sais que mon point de vue n'est pas celui d'un mathématicien, mais pour un néophyte comme  moi, les écritures du type 1/7 = 0,142857 ne sont jamais qu'une approximation de la réalité et les multiplier par 7 pour obtenir 0,99999... ne revient qu'à manipuler une nouvelle approximation.

On en parle ici, et c'est évoqué dans la page wiki qui suit à la fin du paragraphe sur le cas des nombres décimaux , mais ça reste assez tiré par les cheveux du point de vue de la simple logique terre à terre, on reste dans le domaine de la limite en l'infini plutôt que de la valeur exacte.

http://www.math.u-bordeaux1.fr/~rcoulan … ecimal.pdf

https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9ve … A9riodique

J'aime bien ce terme de développement « impropre »  qui sonne un peu comme « inadéquat »

Je ne conteste pas du tout , mais il est difficile d'appréhender la notion si on n'a pas l'esprit mathématique (et je ne l'ai pas )

Le seul nombre décimal n'acceptant pas d'écriture impropre est 0, tout les autres décimaux acceptes une écriture cyclique impropre avec 99999... à la fin.

0 est donc la solution.

La solution qui me convient le mieux : Bravo PrOliG
Bravo à tous les participants !

D'ordinaire rationnel=cyclique si l'on admet X,Y00000... comme cyclique, c'est une des caractérisations des rationnels.
Au sens strict, il n'y a donc pas de rationnel dont le développement décimal est acyclique.
Si l'on enlève une suite infinie de 0 comme cas acceptable de cycle, on a un autre problème car même 3 (càd 3,0000...) admet une écriture une écriture cyclique (dite impropre) car 3=2,999999.....

Premier cas : on admet les écritures impropres, en ce cas, seul 0 se distingue et il est le seul à être acyclique

Deuxième cas : on ne les admet pas et les acycliques sont les décimaux (nombre fini de décimales non nulles).

Exact Nodgim..c'était juste une manière pour ceux qui n'avaient pas trouvé directement de se mettre "sur la piste"...C'était sensé simplifier..j'espère que ca n'a pas compliqué...

C'était juste un petit problème sans prétention en passant...

portugal : Pour les rusés, je ne compte pas X,Y000... comme ayant une écriture cyclique.

On peut comprendre : le nombre X,Y000... n'a pas d'écriture cyclique.
Alors qu'il fallait comprendre : le développement X,Y000... n'est pas cyclique.
D'où la confusion dans les réponses...

Il fallait considérer que
le nombre 1,00000... = 0,99999... a un développement cyclique (donné par son second membre) bien que le 1er membre ne soit pas un développement cyclique (suivant le choix portugal).

Une énigme tirée par les cheveux...