Pas du tout sûr de moi...
En assimilant les cosinus  avec cos(x) = (tout juste plus grand) à 1-x^2/2 ,

On obtient le produit des 1- pi^2 / 2n^2

Il est minoré par :
1 moins  la somme des pi^2/2n^2...

Vite fait, avec un tableur, j'ai corrigé les erreurs :
premièrement, conserver la vraie valeur du cosinus pour les premières valeurs car l'approximation est valable pour x petit, je crois .
deuxièmement, éliminer pi et pi/2.

En corrigeant juste pour les 8 premières valeurs du cosinus, j'arrive à une borne inférieure pour le produit égale environ à 0,201477...

Ce n'est pas exact mais je pense qu'on peut faire comme ça et minorer cos(pi/n) par son développement limité pour prouver que la borne inférieure est non nulle.