Bonjour,
Soient R le rayon du fromage et kR (avec 0 < k < 1) celui du disque central.
Soient N le nombre de parts du disque central et pN (p entier) celui de l'anneau.
On a la relation: pi.(R²-k²R²) = p.pi.k²R², simplifié en: p = 1/k² - 1.
De plus: N.(p+1) = 72 donne: N = 72.k².
La découpe est de: D = 2.pi.kR + N.kR + pN.(R-kR),
soit: D/R = 2.pi.k + 72.k³ - 72.k² / (k+1).
On cherche à optimiser D/R par rapport à k.
Donc: d(D/R)/dk = 0, ce qui donne:
2.pi + 216.k² - 72.[2k(k+1) - k²] / (k+1)² = 0,
soit: (pi+108.k²)(k+1)² - 36(k²+1) = 0.
Je me retrouve avec une équation du 4è degré en k sans solution évidente (et il est tard): je vais faire appel à un tableur et je trouve k= env. 0,408603.
On en déduit N = 12 et p = 5.
Le disque central comporte donc 12 parts et l'anneau périphérique 5 x 12 = 60 parts.
La découpe intermédiaire a un diamètre de 2.kR = env. 29,4 cm.
Bonne journée.

Je trouve que la découpe minimale est obtenue lorsque le rayon du cercle intérieur est 0.59081..fois le rayon du cercle extérieur. On a alors un partage de 25 parts à l'intérieur et 47 parts à l'extérieur. Mais comme le partage ne tombe pas juste, il faut réajuster le rapport à rac(25/72)=0.5892...Ce qui donne un rayon de 15/rac2 rapporté à notre problème.

Rebonjour,
Il n'y a pas de soucis pour revoir ma copie que voici (j'ai aussi laissé l'ancienne).
Soient R le rayon du fromage et kR (avec 0 < k < 1) celui du disque central.
Soient N le nombre de parts du disque central et M celui de l'anneau périphérique.
On a la relation: N.pi.(R²-k²R²) = M.pi.k²R², simplifié en: M/N = 1/k² - 1.
De plus: N+M = 72 donne: N = 72.k² et M = 72.(1-k²).
La découpe est de: D = 2.pi.kR + N.kR + M.(R-kR),
soit: D/R = 2.pi.k + 72.k³ + 72.(1-k²)(1-k),
ou encore: D/R = 2.pi.k + 72.(2k³ - k² - k + 1).
On cherche à optimiser D/R par rapport à k.
Donc: d(D/R)/dk = 0, ce qui donne: 2.pi + 72.(6k² - 2k - 1) = 0.
Je me retrouve avec une équation du 2è degré en k sans solution évidente : je vais faire appel à un tableur et je trouve k= env. 0,590813, d'où N = 25 et M = 47.
Le disque central comporte donc 25 parts et l'anneau périphérique 47 parts.
La découpe intermédiaire a un diamètre de 2.kR = env. 21,27 cm.
Bonne journée.

Bon OK, il faut donc limiter la longueur de coupe.
Après bien des tâtonnements (donc je vous ferai grâce de la démonstration), la longueur totale est :
L = les petits diamètres + les petits rayons de l'anneau extérieur + périmètre du cercle intérieur
Soient n le nb de parts à l'intérieur du petit cercle de diamètre d, et D le diamètre du grand cercle :
NB : V signifie "racine de"
L = n/2.d + (72-n).(D-d)/2 + pi.d
Sachant que d = D. V(n/72), alors
L = n/2.D. V(n/72) + (72-n).[D-(D.V(n/72))]/2 + pi.V(n/72).D
Je passe les affreux calculs (que j'ai vérifié deux fois)
L = [D/(6V2)].V(n^3) - (D/2).n - [(36-pi)/(6V2)].D.V(n) + 36.D

Il s'agit d'une équation dont il faut trouver le minima... Je vais essayer de la modéliser (je n'ai pas ce qu'il faut pour étudier une fonction mais excel est mon ami...). A suivre

Edit : j'ai modélisé la courbe sous Excel

Elle admet un minimum pour 25 parts au centre, ce qui correspond à un diamètre intérieur proche de 0,59 fois le diamètre du fromage (0,589255651 pour être un peu plus précis).
NB : la longueur mini de découpe est dans ce cas de 18,86938906 fois le diamètre du fromage (soit presque la moitié de ce qui aurait été nécessaire si l'on avait découpé le fromage traditionnellement).
Voili voilou (je tire un peu la langue quand même )

Moriss

Après avoir essayé des découpes sur une douzaine de fromages, nous sommes arrivés à ce résultat:
Le disque central comporte 25 parts.
L'anneau périphérique comporte 47 parts.
Le diamètre de la découpe du cercle intermédiaire est approximativement de 21,21320344 cm.
Nous avons une longueur totale de découpe d'environ 679,2980063 cm.
Les lutins ayant procédé au découpage du fromage gagnant ont ensuite réalisé un graphique avec un tableur pour nous prouver qu'ils ne pouvaient pas faire mieux:

La prochaine fois, je leur suggérerai d'utiliser le tableur d'abord, et d'acheter le fromage ensuite.

L'aire totale du fromage est de [latex]18^2 \pi[/latex] donc l'aire d'une part est de [latex]\frac{18^2 \pi}{72} = \frac{9}{2}\pi[/latex]
Soit 0<n<72 le nombre de part dans la partie centrale. L'aire du disque central est donc de [latex]\frac{9n}{2} \pi}[/latex]. Donc le rayon du disque central est de [latex]\sqrt{\frac{9n}{2}}=\frac{3\sqrt{2 n}}{2}[/latex]

Pour 1 < n < 71, la longueur de la découpe comprend :
la découpe du disque central : [latex]2 \pi \frac{3\sqrt{2 n}}{2} = 3\sqrt{2 n} \pi[/latex]
les n rayons délimitants les n parts au centre : [latex]n \frac{3\sqrt{2 n}}{2}[/latex]
les n parties de rayons délimitants les 72 - n parts de la couronne : [latex](72-n)(18-\frac{3\sqrt{2 n}}{2})[/latex]

On étudie alors la fonction f qui à x associe la somme de ces 3 termes et on trouve un minimum pour [latex] x \simeq 25,1 [/latex]
Finalement f(25) < f(26), donc 25 parts centrales donnent une longueur minimale à la découpe pour un nombre de part compris strictement entre 1 et 71.

Reste a calculer les 2 cas spéciaux n = 1 et n = 72 (pas de découpe au centre pour l'un, et pas de découpe sur la couronne pour l'autre), mais aucun ne fait mieux que n = 25.

Conclusion : Pour minimiser la découpe, on obtient 25 parts centrales, 47 parts sur la couronne.
le diamètre du cercle intermédiaire est d'environ 21 cm
Et la longueur finale est d'environ 679.3 cm

25 parts a l'interieur, 47 a l'exterieur,
pour une coupe minimale de 679.298006
le rayon du cercle interieur est de 10.606602

J'ai moi aussi utilisé un tableur pour arrivé au bout de ce petit problème.
Soient re le rayon extérieur du fromage, r celui de la découpe circulaire, N1 le nombre de parts dans le cercle central, N2 (= 72 - N1) celui dans l'anneau.

Le rayon de la découpe intermédiaire est tout simplement r = re * rac (N1/72).
La longueur totale de découpe est la somme de la circonférence 2 pi*r, des N1 découpes de longueur r et des N2 découpes de longueur (re - r).
Il ne reste plus qu'à faire varier le nombre de parts N1 pour voir comment évolue cette longueur totale.
On trouve effectivement un minimum pour N1 = 25, N2 = 47 avec r = 106.066 mm et une longueur de découpe = 6792.88 mm.

Encore bravo à nodgim, Francky, Moriss, elpafio, thomas et dhrm pour avoir résolu cette petite énigme.

Il ne me reste plus qu'à retourner prendre ma commande dûment découpée dans une quinzaine de jours pour la déguster en compagnie de toute la famille réunie. (à suivre...)