Bonjour,

j'ai 5/27

Bon je ne vais pas tout expliquer parce que ce serait trop long ^^

L'ensemble des points étant plus près du centre du triangle que d'un côté du
triangle est délimité par le trait rouge sur le dessin :



J'ai obtenu ce résultat par rotations du triangle ADB de la figure suivante :



Sur cette image, D est le centre du triangle équilatéral, les droites bleu et verte sont respectivement les bissectrice des angles BAC et ABC, la courbe rouge représente tous les points qui sont équidistant du point D et de la droite (AB).

Les points H et G sont à une hauteur de [latex]\sqrt{3}\over 9[/latex].
Je me suis placé dans un repère orthonormé dont A est l'origine et B est le point de coordonnées (1,0).

Dans ce repère, l'équation de la courbe rouge est [latex]f(x)=\sqrt{3}(x^2-x+{1\over 3})[/latex]

On va s'intéresser uniquement à ce qui se passe dans le triangle DAB, il suffira ensuite de multiplier les résultats par 3.

On va calculer l'aire complémentaire de l'ensemble qui nous intéresse. Pour ça on
va s'intéresser au "pseudo polygone" AHGB.

Pour l'aire de la partie rouge foncé est  [latex]{\sqrt{3}\over 9} * {1\over 3}={\sqrt{3}\over 27}[/latex]

Pour l'aire en rouge clair en dessous de la courbe rouge j'ai calculé l'intégrale
de 1/3 à 2/3 de la fonction f (la courbe rouge), et ça donne quelque chose du

genre  :[latex]{5\sqrt{3}\over 162}[/latex]

donc l'aire du "secteur" AHGB est égal à  [latex]{\sqrt{3}\over 27}+{5\sqrt{3}\over 162}={11\sqrt{3}\over 162}[/latex]

Si on multiplie cet aire par 3 on obtient [latex]{11\sqrt{3}\over 54}[/latex].

Comme l'aire du triangle équilatéral est [latex]{\sqrt{3}\over 4}[/latex] alors l'aire de la partie qui nous intéresse est [latex]{\sqrt{3}\over 4}-{11\sqrt{3}\over 54}={5\sqrt{3}\over 108}[/latex]

Et la probabilité recherchée est le rapport de l'aire trouvée par l'aire du triangle soit :
[TeX]{5\sqrt{3}\over 108}*{4\over \sqrt{3}}={5\over 27}[/TeX]

La réponse est 5/27.

Mon raisonnement : les points à égale distance d'un point et d'une droite donnés déterminent une parabole. Le domaine cherché est donc délimité par 3 arcs de paraboles.

Pour calculer l'aire de ce domaine, j'utilise cette figure (pas très juste) :



Je calcule d'abord l'aire du trapèze rectangle vert et orange. L'angle en haut fait 60°, d'où on tire que ses 4 côtés mesurent, si on appelle L la longueur du côté de gauche, L, 2L/3, 2L/3 et L*rac(3)/3. On en déduit son aire.

Je calcule ensuite l'aire verte grâce à une intégrale, j'en déduis l'aire orange, que je multiplie par 6, et le tour est joué.

Bravo à tout le monde pour le moment !

Ebichu tu as raison, j'ai édité l'énigme

Le dénominateur est juste nodgim mais le numérateur non. Sans ton raisonnement je peux difficilement t'aider

Ce serait plutôt 5/24, je crois.

bonsoir.

j'ai un rapport de 0.15778257736..  (non validé).
J'ai du alors me planter quelque part.

mes points sont à l'intérieur d'une ressemblance d'un triangle de reuleaux délimité
par 3 arcs de parabole.

Une réflexion rapide m'a amené à 1/4, ce que la case-réponse m'a refusé.
Et effectivement,  il va falloir que je sorte le crayon !

Bonjour

J'ai pris un côté 36 pour le grand triangle qui a donc une aire de [latex]324\sqrt{3}[/latex] . La partie à égale distance du centre et du côté le plus proche est constituée de trois morceaux de parabole identiques . Un petit calcul d'intégrale et quelques calculs d'aire de triangles nous donne l'aire cernée par ces arcs [latex]60\sqrt{3}[/latex] : le rapport vaut donc [latex]\frac{5}{27}.[/latex]

Vasimolo

Le rapport des aires est égal à 5/27 .

Le lieu des points d'un triangle équilatéral plus près du centre que d'un de ses côtés est  une pièce dont le bord est formé de 3 arcs de paraboles.

Pour la preuve, on utilise l'équation réduite d'une parabole, à savoir [latex]y^2=2px[/latex] .

On peut utiliser le fait que l'aire définie par [latex]0\leq x\leq x_0[/latex], [latex]0\leq y\leq \sqrt{2px}[/latex]  est égale aux 4/3 de l'aire du triangle OAB avec [latex]O=(0,0)[/latex], [latex]A=(x_0,0)[/latex] et [latex]B =(x_0,\sqrt{2px_0})[/latex].

Je trouve 11/54 mais la case réponse ne valide pas ...

Ah il y avait juste une petite erreur de calcul que je viens de voir, le raisonnement en lui même est bon.
Le rapport recherché est de 5/27.

Mon raisonnement: L'ensemble des points équidistants d'un point à une droite est une parabole de foyer ce point et dont le sommet passe par le milieu de ce point et sa projection sur la droite (les coniques en 1ère et Tle ). J'ai raisonné sur un des 3 triangles isocèles formés par un côté du triangle équilatéral et son centre. Le reste est calculatoire.

Bonjour,
ce ne fût pas de tout repos, ça fait maintenant 3 jours que je suis dessus, mais pas mécontent d'être arriver à 5/27

pour arriver à cette valeur, il faut additionner l'aire d'un triangle qui fait 1/9 de l'aire total du triangle, auquel on ajoute 3 fois l'aire d'une surface compris entre le bord du "petit" triangle et une parabole définie par le centre de gravité du triangle original et un de ses côtés, aire calculée à l'aide d'une petite intégrale...

Merci, ça m'a fait du bien de retourner dans ces mathématiques que je n'avais pas touché depuis longtemps

a ce propos, je me suis dit, et je pense que tu confirmeras, que la probabilité que le point soit à la même distance du bord et du centre est donc nulle...