Enigme Tour de France 1/2 @ Prise2Tete

Vasimolo · #1

Bonjour à tous

Un petit problème qui m'a beaucoup amusé et que j'ai trouvé sur le site Diophante ( de très jolis problèmes orientés maths ludiques ) :

D'après une proposition de Raymond Bloch

Cette étape qui relie les villes A à B comporte trois types de tronçons: terrain plat, terrain vallonné avec pente moyenne inférieure à 5% et terrain accidenté avec pente moyenne supérieure à 5%. Selon que les coureurs sont sur terrain plat ou sur terrain vallonné ou accidenté, en montée ou en descente, on observe ainsi cinq vitesses moyennes distinctes.
Zig dit à Puce: "Quand les coureurs vont de A à B, la durée de l'étape est de 6 heures avec une vitesse moyenne sur terrain accidenté de 18 km/h(¹) à la montée et une vitesse moyenne de 42 km/ sur terrain vallonné à la descente. Quand ils vont de B à A, cette durée est de 7 heures." Peux-tu me donner la longueur de l'étape qui est un nombre entier de kilomètres?"
Puce: "La réponse est évidemment impossible. Il me manque trop de données"
Zig : "Sache que les trois autres vitesses moyennes exprimées en km/h sont des nombres entiers et les cinq vitesses sont telles que tu peux trouver la réponse sans qu'il soit nécessaire que je t'en donne les valeurs.
Pouvez-vous aider Puce à trouver la longueur de l'étape?
(1)Nota: km/h = kilomètres par heure.

La solution du problème n'est pas donnée sur le site alors amusez-vous

PS : j'ajoute une case réponse ( le nombre entier de km sans unité ) .

Indice 1 : Spoiler : [Afficher le message]
Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message]
Vasimolo

godisdead · #2

Il est assez facile de trouver une réponse cohérente, mais je n'arrive pas à utiliser/comprendre la dernière phrase :
les cinq vitesses sont telles que tu peux trouver la réponse sans qu'il soit nécessaire que je t'en donne les valeurs.

Ce qui rend la solution unique !

Vasimolo · #3

C'est un peu la clé du problème : Zig indique à Puce qu'elle peut trouver la longueur de l'étape uniquement avec les éléments qu'elle possède .

Vasimolo

gwen27 · #4

Vu que je trouve plusieurs solutions avec des valeurs plausibles, je ne dois pas comprendre le problème non plus.

Vasimolo · #5

La clé est dans la dernière intervention de Zig :

"Sache que les trois autres vitesses moyennes exprimées en km/h sont des nombres entiers et les cinq vitesses sont telles que tu peux trouver la réponse sans qu'il soit nécessaire que je t'en donne les valeurs."

Quelles sont les vitesses qui permettent à Puce de trouver la longueur de l'étape à coup sûr ?

Vasimolo

godisdead · #6

174 km ?

Vasimolo · #7

Je n'ai pas le même résultat

Peux-tu nous donner les différentes vitesses que tu as trouvées ?

Vasimolo

Vasimolo · #8

On ne se bouscule pas sur le problème

J'indique comment j'ai attaqué l'étape ( je n'ai aucune certitude sur mon résultat et ne suis pas au courant de la solution "officielle" ) .

Vu les contraintes et en considérant les trois vitesses non connues comme des paramètres , la longueur de l'étape qui dépend à priori de trois variables ( le temps passé sur trois des tronçons ) doit être constante .

Il ne faut pas avoir peur de calculer un petit peu .

Bon courage

Vasimolo

gwen27 · #9

Bon, allez, 2 ou 3 solutions possibles (l'image est zoomable) :

Vasimolo · #10

Oui Gwen mais tu ne tiens pas compte du fait que Zig affirme à Puce qu'il a en main tous les éléments pour déterminer la longueur de l'étape .

Avec tes vitesses 18 , 36 , 21 , 42 , 40 , peux-tu donner avec certitude la longueur de l'étape ?

Vasimolo

godisdead · #11

J'ai commencé comme gwen, mais j'ai considéré que la descente accidentée était nécessairement plus rapide et que le plat était plus lent que la descente !
Comme le plat est identique pour les deux parcours, on ne peut le déterminer donc j'ai supprimé la portion plate de mon parcours !

Vasimolo · #12

Oui , mais comme Gwen tu fais l'impasse sur le cœur du problème : Puce est censé trouver la longueur de l'étape .

Vasimolo

Franky1103 · #13

Je viens de comprendre que le terrain plat (que j'avais aussi shunté au départ) permet de rendre la distance totale entière (sans que la distance plate ne le soit forcément).
J'imagine qu'on doit de plus avoir: V(accidenté en montée) < V(valonné en montée) < V(plat) < V(valonné en descente) < V(accidenté en descente)
Mais je n'ai pas pour autant la bonne réponse

nodgim · #14

Gwen descent moins vite le terrain accidenté que le terrain vallonné. Pas très logique....

gwen27 · #15

Bah si, il est accidenté.

Vasimolo · #16

J'ai uniquement supposé que l'accidenté ascendant était plus lent que le vallonné ascendant lequel était plus lent que le plat , mais on peut peut-être s'en passer .

Vasimolo

nodgim · #17

D'accord Vasimolo, mais ce sont des contraintes de bon sens, pas franchement mathématiques. Aussi, le dessin de Gwen est mathématiquement correct, ce qui laisse la place à plus d'une solution.

Vasimolo · #18

Je suis certain que la solution est unique avec les contraintes que j'ai donné dans le message #16 . Après c'est peut-être encore vrai si on suppose uniquement que les vitesses sont différentes mais je n'ai pas fait les calculs , c'est un travail de machine .

Vasimolo

Franky1103 · #19

@nodgim: Si les solutions de Gwen sont effectivement mathématiquement correctes, ce n'est pas LA solution, puisque celle-ci doit être unique. Je viens de comprendre que le coeur de cette énigme réside dans l'unicité de la solution. En clair, on ne doit avoir qu'une vitesse possible sur la portion plate. Pour ma art, je cherche encore, même si j'ai quelques pistes sérieuses.

Vasimolo · #20

L'unicité des vitesses n'est pas vraiment une obligation du problème ( mais pratiquement ... ) , c'est la longueur de l'étape qui doit être unique .

Vasimolo

gwen27 · #21

Cela , mieux exprimé veut-il dire : Si je te donnais les 5 vitesses , la solution serait unique pour la distance alors que ce ne serait pas le cas avec d'autres vitesses ?

Ce n'est clairement pas ce que dit l'énoncé, mais c'est la seule porte de sortie que je trouve...

Vasimolo · #22

Oui , ça revient à ça , mais je trouve la formulation initiale du problème plus subtile . Je t'ai donné assez d'éléments pour que tu puisse trouver sans ambiguïté la longueur de l'étape : quelle est-elle ?

Vasimolo

Vasimolo · #23

Personne n'a trouvé la longueur de l'étape ( même sans justification ) ?

J'ajoute une case réponse au message initial

Vasimolo

Vasimolo · #24

Après vérification , il a bien unicité des vitesses sans qu'il soit utile d'imposer des contraintes du style on va plus vite en descente qu'en montée ou plus la pente est douce et plus on grimpe vite .

J'ajoute un indice dans le message initial .

Vasimolo

Vasimolo · #25

Je donne un deuxième indice .

Je donnerai la solution demain si personne ne se manifeste

Vasimolo

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