C'est sûr que n*A, si n entier et A irrationnel, est irrationnel.

Bon, le temps  est passé, je vous donne seulement la solution théorique. Je crois que vous devriez pouvoir trouver le plus petit nombre qui répond à la contrainte (par convention, on dira que 1 n'est pas une puissance de 10).

Je suis sûr que Vous allez bien vous amuser à l'application de la petite formule  !

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Pour x réel > 1 donné, n*x, n entier,  n'est jamais à moins d'une unité au dessus d'une puissance de 10 si:
Soit 10^m = (E+d)x avec E partie entière et d partie décimale non nulle : 10^m + 1 <= (E+1)x
( E + d ) x <= ( E + 1 ) x - 1
d x <= x - 1
0 < d <= 1 - 1 / x.

Si l'on pose y = 1 / x
d est la partie décimale de (10 ^ m) * y, c'est à dire la partie située à droite de la virgule de y, la position de celle-ci étant tributaire de 10 ^ m (car multiplier par 10 ^ m, c'est déplacer la virgule de m rangs vers la droite), et donc pouvant prendre n'importe quel emplacement entre 2 chiffres.

Il faut 0 < d <= 1 - 1/x = 1 - y quel que soit l'emplacement de la virgule. 
A n'importe quel endroit de la suite infinie des chiffres de y, la partie droite doit être inférieure ou égale à 1 - y (du fait du caractère infini de la suite des chiffres, il faut remplacer 1 par 0,9999...)

Il suffit donc de construire un tel y pour avoir un x = 1 / y qui réponde à la contrainte.

Je pense que le "plus petit", si on peut dire, est 1,232876712328649....
Plus formellement, lim[(10^(n+2)+1) / (10^(n+2)+1 -2*10^(n+1) + somme(10^k,k=0..n))] + epsilon aussi petit qu'on veut pour avoir un irrationnel.
Moins formellement, c'est la limite de
"1--n zéros--1"/"8--(n-1) uns--2"
Trouvé en cherchant son contraire (irrationnel r tel que toutes les puissances de 10 sont atteintes -- qui tend vers 100...001/188...89) + théorème de Beatty ensuite

Démonstration un peu plus longue:
Si un tel x existe, il existe un irrationnel y tel que E(n.x) et E(n.y) soient deux suites qui partitionnent l'ensemble des entiers, avec x=y/(y-1). Et donc chaque puissance 10^n est une valeur de E(n.y)
x plus petit possible ==> y plus grand possible.
y>11 ==> il manque 10^1
10<y<11 ==> considérant le premier chiffre non nul après la virgule, au rang r, il apparaît que y.10^r est trop grand alors que y.(10^r-1) est trop petit pour atteindre 10^(r+1)
5.5<y<10 ==> y < 10 et 2y > 11 donc on manque 10^1
Partant de y<5.5, on a n=2 pour atteindre 10, ensuite n=20 sera trop grand pour atteindre 100 donc on prendra n=19 avec pour limite y < 101/19,  n=190 sera trop grand pour atteindre 100, donc on prendra n=189, etc...
La suite Um des valeurs de n est donc:
U0=2 et U(m+1)=10.Um - 1
On trouve son terme général :
Um = (17.10^m+1)/9
La valeur maximale pour y est donc la limite de (10^(m+1)+1) / (17.10^m+1)/9 =90/17
La valeur minimale de x est donc y/(y-1)=90/73.
CQFD