Comme ça, je dirais 1620 1621

Bonjour,
parmi les nombres à 4 chiffres, on trouve 1620|1621, 2016, 6201|6202, soit 3 solutions
Cela vient du fait fait que l'on peut découper 2016 en 3, mais il faut écarter le cas ou le chiffre commence par 0.

A 5 chiffres, on en a 10 de la forme  16X20|16X21
10 de la forme 6X201|6X202
10 de la forme 2016X
9 de la forme X2016

On arrive donc a un cumulé de 42

à 6 chiffres,
100 de la forme 20|16XX21
100 de la forme 6XX201|6XX202
90 de la forme XX2016 (on enlève les cas avec 0 au début)
100 de la forme 2016XX
90 de la forme X2016X
on a donc un cumulé de 522

a 7 chiffres,
1000 de la forme 20|16XXX21
102 de la forme XXX2016 et inférieurs à 2 020 000 (XXX de 100 à 201)
100 de la forme XX2016X et inférieurs à 2 020 000 (XX de 10 à 19, x10)
100 de la forme X2016XX et inférieurs à 2 020 000 (X =1 , x100)
on a donc un cumulé de 1824
2016-1824 = 192
Le 192-ème nombre de la forme 2016XXX est 2016191 > 2012016 le plus grand chiffre de la forme XXX2016 et inférieur à 2 020 000

Réponse: 2016191
En espérant ne pas avoir loupé de cas
Edit: Misère, j'ai oublié le cas X2016X, je modifie...
Voilà, j'ai aussi réglé des 0 au début oubliés, en espérant que c'est bon cette fois ci...
Edit: Correction suite à la remarque de nodgim

Pas simple d'expliquer la démarche textuellement tant c'est le bordel sur ma feuille de papier

Je vais essayer...

Les séquences de 2016 se retrouvent dans les "modèles" suivants :

*2016*
16*20-16*21
6*201-6*202

avec * un groupe de chiffres

Dénombrons le nombre de séquences de 2016 pour les nombres à 4 chiffres :

2016
1620-1621
6201-6202

Bon, ce n'est pas dans l'ordre, mais il y en a 3.

Maintenant, pour les nombres à 5 chiffres :

2016# avec # chiffre de 0 à 9 -> 10
#2016 avec # chiffre de 1 à 9 -> 9
16#20-16#21 avec # chiffre de 0 à 9 -> 10
6#201-6#202 avec # chiffre de 0 à 9 -> 10

Ce qui nous donne un total de 39 pour 5 chiffres.

En tout, on en est à 42.

Passons à 6 chiffres :

2016## avec # de 00 à 99 -> 100
#2016# avec # de 1 à 9 et # de 0 à 9 -> 90
##2016 avec # de 10 à 99 -> 90
16##20-16##21 avec # de 00 à 99 -> 100
6##201-6##202 avec # de 00 à 99 -> 100

Ce qui nous donne 480, donc en tout 522.

Nombres commençant par un 1 avec 7 chiffres :

12016## avec ## de 00 à 99 -> 100
1#2016# avec # et # de 0 à 9 -> 100
1##2016 avec ## de 00 à 99 -> 100
16###20-16###21 avec ### de 000 à 999 -> 1000

Ce qui nous donne 1300, donc en tout 1822.

Poursuivons avec les nombres qui commence par 20, ils seront de la forme :

20#2016
202016#
2016###

Dans l'ordre :

1823 : 2002016
1824 : 2012016
1825 : 2016000
1826 : 2016001
...
... (+ 190)
...
2016 : 2016191

Bon voilà, c'est pas très rigoureux, mais j'espère que la réponse est bien 2016191

Bon, maintenant que j'ai compris le problème :

Il y a 3 nombres à 4 chiffres : 2016  1620...16 et 6201...6202
Pour simplifier je ne tiendrai compte que d'un des nombre quand il y a coupure...

Pour les nombres à 5 chiffres , on en trouve

10 de la forme 2016x
9 de la forme x2016
10 de la forme 6x201
10 de la forme 16x20   soit 39

Avec le même type de raisonnement, on en trouve 100 + 100 + 100 + 90 + 90 pour les nombres à 6 chiffres, soit 480.

On arrive donc à un total de 522.

Pour les nombres à 7 chiffres, il y en aura 5700. Il faut donc commencer à compter sans se tromper....

Commencant par un 1 :
1xx2016 => 100 nombres
1x2016x => 100 nombres
12016xx => 100 nombres
16xxx20 => 1000 nombres

On arrive à ceux commençant par un 2 et notre total actuel est de 1822, il nous en manque encore 194...

2002016
2012016 (j'ai bien failli le zapper celui-là ! )
2016xxx => 1000 nombres il nous faut le 192e soit 2016191

@Caduk & Gwen : 2 autres bonnes réponses correctes. Bravo !

Salut,

Si on note [latex]U(n)[/latex] l'entier extrait d'ordre [latex]n[/latex] :

[latex]U(1)=1[/latex], [latex]U(2)=12[/latex], [latex]U(3)=123[/latex] ...

Alors la solution est [latex]U(6074202)[/latex].

Il y a 3 patterns principaux: x2016x, 16x20.16x21 et 6x201.6x202
Après on compte: nombres à 4, 5, 6 chiffres; puis 7 chiffres en commençant par 1, 2; 20..., 201..., et on arrive à 2016191.

C'est dommage, on aurait plus rigolé si les morceaux des patterns eux-même contenait du 2016 (avec des doublons à éliminer, ...)
Enfin bon, ça n'aurait surement amusé que moi

Scarta, c'est OK pour toi aussi, bravo ! Si tu as plus compliqué, tu peux proposer un autre nombre. 
Franky, il en manque dans ton décompte des 5 chiffres, et aussi au dela. A revoir.

Quand tu parles du " nombre extrait d'ordre", veux tu parler de la position de la 2016eme occurence des chiffres '2', '0', '1' et '6' dans le nombre univers?

Si oui, ils se trouvent en positions 13002224 à 13002227.

Merci à tous pour votre participation à cette énigme pas bien difficile mais qui exigeait de l'attention.
Au début, j'avais l'idée de demander combien de chiffres comportait la partie composée entre 1 et le dernier nombre de n chiffres. Il y a une formule simple que certains pourront tenter de trouver. L'autre question que je voulais poser était de savoir combien de séquences 2016 on pouvait dénombrer jusqu'au nombre 20162016.

L'interprétation de Sydre ne manque pas d'intérêt: il décompte les 2016 groupés ou non. Je n'ai pas étudié ça à la main, mais ça me semble plus difficile que la question initiale.