1 demi triangle équilatéral
2 demi carré (isocèle rectangle)

[bon soir]

Pour le 1
Un triangle isocèle rectangle.
Le 2 est moins évident (angle aigu de 52° et 38° environ)
Le rayon du cercle est proche de 0,3.

Joli problème.

Une animation qui répond en partie
https://ggbm.at/xTbWb2N4

[suite]

L'expression du rayon du cercle inscrit en fonction de la base du triangle isocèle (obtenu en complétant la figure par symétrie ... )
(je suis sujet aux erreurs de calcul depuis tout petit jusqu'à tout grand
donc ...plantage plus que pôssible)
serait :



(voir l'animation, donnée plus haut par son adresse, qui montre cette fonction ... en action)

La dérivée donnera le maximum relatif qui nous intéresse


elle s'annule (valeur positive) pour


le côté correspondant du triangle rectangle est (la moitié)


le second côté du triangle est

@ Aunryz: Pour la 1) OK. Pour la 2), c'est en effet "à peu près ça ", je suis intéressé de savoir comment tu es arrivé à cette approche. Mais, bien entendu, cet " à peu près" n'est pas satisfaisant. Regarde plutôt la longueur du coté adjacent à cet angle.

@Dhrm77: oui pour la 1).

Hello nodgim,

1) Le meilleur client est le rectangle isocèle.
2) Je trouve un triangle dont un côté vaut [latex]\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)[/latex] ... j'y vois le conjugué du nombre d'or.

Pour la 2)
Je trouve que le triangle rectangle a pour dimensions:
1 * [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex] * [latex]\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}[/latex]
et que le rayon est de [latex]\frac{\sqrt{6}}{3+\sqrt{3}}[/latex]

Mais je n'ai pas vérifié.. donc ca peut être faux.

Apparemment j'avais compris l'énoncé de façon trop restrictive

Une nouvelle proposition pour le cas 2) donc :

Le triangle doit avoir un angle mesurant [latex]\mathbb{arctan}(\sqrt{\phi})[/latex], où [latex]\phi[/latex] est le nombre d'or.

@ Sydre et Dhrm77: c'est bon maintenant pour vous deux, bravo !

Dans le premier cas, on remarque l'existence d'un carré inscrit dans le triangle rectangle (deux des côtés du carré sont inclus dans les deux côtés de l'angle droit du triangle rectangle, et un sommet du carré est le centre du demi-cercle).

On cherche donc à maximiser la taille de ce carré, ce qu'on obtient pour un triangle rectangle isocèle.

Dans le deuxième cas, il faut placer le diamètre du demi-cercle sur un des côtés de l'angle droit du triangle rectangle, et une extrémité du diamètre se situe au niveau de l'angle droit.

On remarque alors que le centre du demi-cercle est situé sur la bissectrice d'un des angles du triangle rectangle.

Si le triangle rectangle a pour côtés (x ; V1-x² ; 1), on obtient avec la trigonométrie la relation R²=(x²-x³)/(1+x). On étudie les variations de cette expression, et on trouve que le maximum est obtenu lorsque x vaut l'inverse du nombre d'or (le troisième côté du triangle valant alors la racine carrée de ce nombre).

Bon le temps est passé, et il n'y a eu que des bonnes réponses ou presque. Bravo à tous !

L'énigme initiale était: Un cône, de longueur de paroi constante, a une inclinaison variable. Quelle inclinaison doit on lui donner pour faire entrer la plus grosse sphère possible sans qu'elle ne dépasse le bord du cône ?

Pour cette question, il ne fallait pas se laisser aller à son intuition première, trompeuse, que le max est atteint avec le triangle équilatéral. Le résultat était suffisamment surprenant pour valoir l'édition de cette énigme.

Cela dit, c'est un problème très classique de Lycée.

Je donne ici ma solution, et une remarque supplémentaire sur la présence du carré du conjugué du nombre d'or, en plus de la racine carrée.

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On pose que R est le rayon du 1/2 cercle de centre O. O est sur le segment AB (B dans l'angle droit). L'angle entre l'hypoténuse et ce segment est a. C est le 3ème sommet.
On a les 2 relations AB = AO + OB = AO + R = cos a et sin a = AO/R. On élimine AO et on en tire R = (cos a * sin a) / (1 + sin a)
On remplace sin a par x, 0 < x < 1 et on déduit l'équation :

R = x* V( 1-x² ) / (1 + x).

C'est une fonction classique à étudier comme au Lycée. La dérivee a le même signe que 1 - 2x² - x^3 = ( x+ 1) ( 1 - x - x² ). Comme x+1 > 0, alors le signe de la dérivée est tributaire de la parabole tournée vers le bas 1 - x - x². Entre 0 et 1 la dérivée est décroissante. Elle est > 0 jusqu'à la racine, < 0 au dela, il y a donc un max pour la racine qui vaut (V5 - 1) / 2. Cette valeur est le conjugué du nombre d'or (1/phi). Par Pythagore, on déduit que l'autre segment est la racine carrée du conjugué du nombre d'or.

On observe aussi que la distance entre le point du contact du 1/2 cercle et de l'hypoténuse avec C est aussi 1/phi. Et que donc, comme 1-1/phi = 1/phi² (d'après l'équation de la racine), on a donc sur le même dessin : 1 / phi, 1 / ( V phi ) et 1 / phi ² .

Etonnant, non ?