Bon, après réflexion, mon histoire devient vite bancale pour les grands [latex]U_0[/latex].

Tu annonces une relation simple entre [latex]S(n+1)[/latex] et [latex]S(n)[/latex] ...

La formulation que j'ai pour l'instant n'est pas très sexy :
[TeX]S(n+1)=S(n)+1-9\cdot\lfloor\mathbb{cos}(\frac{\pi}{10}\cdot(n+1))^2\rfloor\cdot\mathbb{log}_{10}(n+1)[/TeX]

Je viens de me rendre compte qu'on utilise pas la même notation

Je notais [latex]S(n)[/latex] la somme des chiffres de l'entier [latex]n[/latex] au lieu de la somme des chiffres de [latex]U_n[/latex]

Avec ta notation j'ai :
[TeX]S(n+1)=2 \cdot S(n) - 9 \cdot k[/TeX]
Avec [latex]k[/latex] le total de [latex]0[/latex] terminaux des entiers de [latex]U_n+1[/latex] à [latex]U_n+S(n)[/latex]

Pour ta dernière suite , c'est un peu plus complexe mais on s'en sort encore sans hypothèse :

On rajoute :

xxx total 13
13  total 8  : 1R
21 total 7 : 1R
28 total 5 : 2R
33 total 10 : 1R
43 total 11 : 1R
54 total 13 : 1R
67 total 8 : 2R
75 total  16 : 1R

2 retenues en ajoutant 28 et 67 donc les dizaines sont supérieures ou égales à 8 et les unités supérieures ou égales à 3.

1 retenue en ajoutant 75, elle est donc sur les dizaines... les unités sont donc inférieures ou égales à 4.

1 retenue en ajoutant 13, elle n'est donc pas sur les unités.
Le chiffre des dizaines est 9

Il y a 3 chiffres donc le chiffre des unités n'est pas 4.

On tombe sur 193

En fait, si la suite est suffisamment grande, on doit toujours pouvoir se passer de faire des hypothèses.

Edit:  si on en est réduit à faire des hypothèses, c'est qu'il y a plusieurs solutions.

dans la suite 2 (la seule où j'en ai fait) 238 et 148 ??? cela se règle avec l'avant-dernier terme (+ 157 avec 2 retenues )