Enigme Fraction Irréductible ? @ Prise2Tete

nodgim · #1

Bonsoir @ tous.

C'est peut être un peu scolaire, mais ayant trouvé cela curieux, je vous propose de trouver pour quelles valeurs de n entier cette fraction est réductible :

(4n^3+3n+1)/(2n²+5)

A la main, cela va de soi....

caduk · #2

Bonjour,
(4n^3+3n+1)/(2n²+5) = 2n - (7n - 1)/(2n^2 + 5)
pour n = 2, ce sera réductible, au delà, le quotient (7n - 1)/(2n^2 + 5) sera strictement compris entre -1 et 0

nodgim · #3

Caduk,
OK pour cette 1ère valeur. Tu n'en vois pas d'autres ?
Ton quotient compris entre -1 et 0 n'exclut en rien la possibilité d'autres solutions....

scrablor · #4

À coups de au+bv signés Bézout, je trouve que n ne doit pas être premier avec 246 (2*3*41).
Ça marche pour 2 et 41.
Je verrai plus tard si j'ai le temps...

Edit :
J'ai mal conclu. Je trouve que 7n-1 doit être divisible par 13 ou par 19.
Avec un petit Python :
2 11 15 28 30 41 49 54 67 68 80 87 93 ...

Edit2 :
En fait, n=2+13k ou n=11+19k, k entier.

Ebichu · #5

Salut nodgim,

PGCD(4n³+3n+1;2n²+5)
=PGCD(4n³+3n+1-2n(2n^2+5);2n²+5) en utilisant 2n fois PGCD(a;b)=PGCD(a-b;b)
=PGCD(7n-1;2n²+5)
=PGCD(7n-1;14n²+35) car le nombre premier 7 ne divise pas (7n-1)
=PGCD(7n-1;14n²+35-2n(7n-1))
=PGCD(7n-1;2n+35)
=PGCD(14n-2;2n+35) car le nombre premier 2 ne divise pas (2n+35)
=PGCD(14n-2-7(2n+35);2n+35)
=PGCD(247;2n+35).

Or 247=13*19. Si n=2 modulo 13, 2n+35 est divisible par 13, et si n=11 modulo 19, alors 2n+35 est divisible par 19 (les deux se télescopent si n=106 modulo 247), la fraction est alors réductible ; et le reste du temps, le PGCD vaut 1 et la fraction est irréductible.

Bastidol · #6

Bonjour,

Pour n=2 on obtient 3.

Il y a peut être d'autres valeurs de n ( positives en tout cas)

@+

nodgim · #7

@ Ebichu et Scrablor: parfait pour tous les deux, chacun avec sa méthode (les 2 seules identifiées pour l'instant).
Bravo à vous deux.

@ Bastidol : oui il y en a d'autres pour n entier positif.

masab · #8

On trouve que les entiers naturels n convenants sont ceux de la forme
n=2+13k où k est un entier naturel
ou
n=11+19k où k est un entier naturel

nodgim · #9

C'est presque ça, Masab, il y a une petite erreur pour le 2ème cas.

caduk · #10

J'étais parti sur la démonstration des valeurs de n pour lesquelles le quotient est entier
Il est très facile de démontrer que la fraction est réductible si n est de la forme 13p + 2 ou de la forme 19p - 8.
Je suis en revanche incapable de démontrer qu'il n'y a pas d'autres fractions réductibles, et encore moins comment trouver ces familles d'entier simplement...

nodgim · #11

@ Caduck :

Tu peux maintenant voir les solutions, la plus emblématique est celle d'Ebichu qui travaille le PGCD des deux polynômes :
L'idée directrice est basée sur le fait que s'il y a un facteur commun (aux 2 polynômes) alors il est commun à leur différence, celle ci pouvant être "aménagée" pour se débrouiller de supprimer le degré le plus fort. De proche en proche, il ne reste au final qu'un entier. Tout "n" qui n'est pas diviseur de cet entier donne aux polynômes des nombres premiers entre eux.

Si tu veux, tu peux tenter avec cette méthode de trouver le seul facteur premier commun à 5n^3 + 2n + 3 et 6n² + 5, et le "n" correspondant.

Merci à tous pour votre participation.

caduk · #12

Je dois être stupide, je connaissais le pgcd de polynômes, et je n'y ai pas pensé...

masab · #13

nodgim : C'est presque ça, Masab, il y a une petite erreur pour le 2ème cas.

Laquelle ? J'ai donné la même réponse que Ebichu et Scrablor !
J'avais mis n=-8+19k, k>=1 au début,
je l'ai remplacé ensuite par n=11+19k, k entier naturel,
mais c'est pareil...

nodgim · #14

@ Masab: J'ai dû lire 8 pour -8 sans doute, alors que j'attendais 11, vu qu'on cherche des entiers naturels. Sorry.

Sinon, j'ai donné une autre fraction dans le message précédent avec un seul facteur premier.

Pour les amateurs....

masab · #15

Avec le 2ème exemple on trouve par la même méthode
n = 645 + 2789 k avec k entier naturel.
2789 est un nombre premier.

nodgim · #16

Oui Masab, c'est bien ça !

J'avais trouvé cet exemple totalement au hasard, et assez surpris de tomber sur un nombre premier aussi élevé. Il faut dire que ce PGCD grimpe vite, d'une part avec les coefficients, et d'autre part avec le degré du polynôme le plus élevé.

Belle technique en tout cas.

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#1 - 15-11-2017 17:22:22

Fraction Irrréductible ?

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#2 - 15-11-2017 19:49:26

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