Non , l'algorithme n'est pas réversible , sous un B on peut avoir BB , JR ou RJ ce qui multiplie les possibilités au fil des étages .




Et pourquoi ?

Vasimolo

D'accord , mais comment prévoir le flanc gauche et surtout comment être sûr d'obtenir la bonne couleur au sommet et comment ?

Vasimolo

" D'accord , mais comment prévoir le flanc gauche et surtout comment être sûr d'obtenir la bonne couleur au sommet et comment ? "

On dit bien dans l'énoncé qu'on regarde la "réalisation", c''est à dire la pyramide, pour ce que je comprends. La question que je pose autrement : la seule analyse de la chaîne de départ suffit elle à prévoir la couleur du jeton au sommet ?

@Enigmatus : je suis d'accord avec la réduction de ta formule mais tu l'expliques comment ?

Vasimolo

Soit n-k, le k-ième jeton de la n-ième ligne (en partant du bas) de la pyramide.

On a la relation générale : n-k + (n-1)-k + (n-1)-(k+1) = 0 [3]

On peut en déduire une valeur [3] pour n-k :
n-k = - (n-1)-k - (n-1)-(k+1)
= (n-2)-k + 2 (n-2)-(k+1) + (n-2)-(k+2)
= - (n-3)-k - 3 (n-3)-(k+1) - 3 (n-3)-(k+2) - (n-3)-(k+4)
=......

On reconnait les coefficients du triangle de Pascal. Bien entendu, on peut se contenter de ne donner que leurs valeurs modulo 3.

Il se trouve que pour n = 10 on obtient que des 0 pour les coefficients intermédaires, et donc :

10-1 = -(1-1) - (1-10)

Il suffit de regarder les 2 jetons d'extrémité à la base de la pyramide et d'appliquer la règle comme si le jeton tout en haut était juste au dessus des 2 jetons considérés comme joints.

Les trois jetons aux extrémités de la pyramide de taille 10 vérifient la même règle que trois jetons formant une pyramide de taille 2.

Je ne détaille pas faute de temps et car je pense que certains ont fait ça mieux que moi, mais c'est lié au fait que dans la 10e ligne du triangle de Pascal, seuls les deux "1" aux extrémités ne sont pas divisibles par 3. Je peux préciser ma pensée si nécessaire.

Dommage, j’arrive après la bataille ou presque. On note les couleurs 0,1 et 2
Un pion est calculé en faisant la somme de ses deux parents, et en prenant l’opposé, modulo 3
On associe au pion sommet le nombre 1
En redescendant la pyramide, on additionne les valeurs du ou des enfants (on gros c’est le triangle de Pascal), ce qui nous donne le nombre de fois où un pion de départ est utilisé

Il faut donc considérer la 9eme ligne du triangle de Pascal, et en plus modulo 3. Magique : tout est nul sauf les bords.
Il suffit donc d’appliquer la même règle que pour la construction aux deux pions « sommets » pour trouver le 3ème.
J’aurai aimé pouvoir formaliser un peu plus

Nous avons tous eu à peu près la même idée avec du modulo 3 .

On remarque que pour chaque petit triangle équilatéral de couleurs a , b et c on a a+b+c=0 [modulo 3] . On retrouve cette même égalité aux sommets de chaque triangle  équilatéral de côté 3 ( 4 points sur chaque arête ) et par voie de conséquence du grand triangle de côté 9 . Si on note « a » la couleur non sélectionnée à la base et « b » la couleur souhaitée en haut , on choisira la couleur c telle que a+b+c=0 à l’extrémité désignée .

Merci aux participants

Vasimolo