Il propose 1 d'abord, le résultat R qui donne la somme des coefficients, donne au passage un majorant du plus grand des coefficients, disons que R contienne N chiffres (N=1+floor(log R)).

Ensuite, il propose 10^N.

En lisant de droite à gauche la valeur obtenue pour 10^N, par groupe de N chiffres, les coefficients du polynôme apparaissent comme par magie : et "oooohhhh !" fait le public sidéré

Exemple, si le polynôme est P(x)=45x2+13x+62

P(1) donne : 120 => au plus 3 chiffres au plus gros coefficient

P(1000) donne : 45.013.062

Comme tour de magie, c'est naze

Le polynôme choisi par les "super-calculateurs" est forcément constant car sinon ils ne peuvent pas se préparer à calculer l'image par ce polynôme de n'importe quel entier naturel.
C'est ça?!?

...

Bon apparemment c'est pas ça...
Alors le magicien qui n'y connait rien au math demande l'image par 1 du polynôme. Cela donne un certain nombre A. Le magicien demande alors l'image du nombre A+1 par le polynôme, et tant qu'à faire (puisqu'on a affaire à des "super-calculateurs") il demande cette image en base A+1.
Et le polynôme apparait...
En effet, A est la somme de tous les coefficients du polynôme et, comme ces coefficients sont positifs, A+1 est plus grand (strictement) à tous les coefficients.
L'image de A+1 donne alors le polynôme de la manière suivante. Le chiffre des unités donne le coefficient constant, le chiffre des dizaines donne le coef de degré 1, le chiffre des centaines donne le coef de degré 2, etc...

La critique à cette méthode, c'est l'utilisation de la base A+1. On peut faire plus "simple" pour le magicien allergique aux math, c'est de demander l'image d'une puissance de 10 supérieure strictement à A plutôt que celle de A+1.
Par exemple si le polynôme est: 546.X²+3.X+45, alors son image par 1 donne 546+3+45=594. Le magicien demande alors l'image de 1000. ça donne: 546003045. Le magicien sépare les chiffre par 3 (car 1000 = 10^3):
546 003 045. Ce sont les coefs du polynôme.

A la position du magicien je demanderais tout d'abord la valeur du polynôme quand x = 1 (c'est des mots plus clairs que l'image du polynôme qui est du charabia de matheux (*) ).

Je choisi ensuite la première puissante de 10 immédiatement supérieur.

exemple :
[TeX]P(x)=1x^4+4x^3+7x^2+34x+27[/TeX]
[TeX]P(1)=73
P(100)=104073427[/TeX]
ce qui donne directement les coefficients 1, 04, 07, 34 et 27


(*) je comprends qu'il existe un vocabulaire très précis mais je préfère un langage simple qui est toujours plus fédérateur. Je note aussi que derrière 'entier naturel' se cache le fait que les coefficients sont positifs ou nuls.

Mais enfin Franck , de quel X et de quel P parles-tu , j'ai parlé de polynômes et d'images . Nous sommes tous formatés à notre insu , un milieu s'appelle I , un centre O , un triangle ABC , un angle [latex]\alpha[/latex] , ...

Nous cherchons tous à intéresser un maximum de personnes et je fais toujours attention à ne pas utiliser une terminologie excluant les non-matheux , mais bon , on me reconnait toujours sous le masque , et toi aussi

Tu veux que je fouille dans tes messages récents

Bravo à Franck et Halloduda !!!

Et allez-y , c'est facile !!!

Vasimolo

Il demande la valeur de P(1), ça lui donne un majorant de chaque coefficient du polynôme.
Il demande ensuite la valeur de P(P(1)) qu'il réécrit en base P(1), ça lui donne le polynôme.

@Tromaril et Gwen

Le magicien est vraiment un piètre mathématicien et il est totalement nul en calcul , il faut faire plus simple

Vasimolo

Bon, alors il demande la valeur de P(1) puis il choisit une puissance de 10 strictement supérieure à P(1) et il demande l'image de cette puissance.

Les coefficients du polynôme apparaissent alors comme par magie.

PS Il ferait bien mieux d'apprendre à calculer, la première méthode apparaîtrait bien plus mystérieuse !

En premier, je choisis X = 1, le résultat P(1) donne la somme des coefficients. Comme il sont tous positifs, je sais que P(1) maximise le plus grand de ces coefficients.
Je choisis ensuite en second Y = 10^a, tel que Y>P(1).

Les a derniers chiffres donnent le coefficient de x^0, je le soustrais de P(Y) et je divise par Y, les a derniers chiffres donnent le coefficient de x^1, etc...

bon alors idem : 1 donne la somme des facteurs = S qui a n chiffres

10^n donne le nombre écrit en clair avec quelques zéros en trop par ci par là

je me suis decidé a proposé ma solution!
qui est la proposition suivante:

je commence par dire 1,
ca qui donne la somme des coefficients, ceux ci étant tous positif, le plus grand d'entre eux est inférieur au résultat.
Je prends alors la plus petite puissance de 10 supérieur a ce nombre, et je donne se nombre, je vois alors apparaitre les différents coefficients (somme = 576 je prends en 2eme nombre 1000)

J'avais pensé à cela mais pour une raison inconnue, j'ai confondu entiers naturels et entiers relatifs... :-( Je me suis dit que ça marcherait bien si on savait que les entiers étaient tous >=0...

Jolie énigme en tout cas, et joli tour pour les calculateurs prodiges...