Le 1er joueur (a) perd contre b.

Le jeu se termine en 5 coups max, puisque le nombre de liaisons disponibles diminue d'une unité à chaque coup.

Sans la contrainte topologique, a gagnerait à tous coups. Mais du fait de cette contrainte, c'est b qui gagne à tous les coups.

Si a joue en 1er coup 1 seul point ( boucle ) qui n'enferme pas le 2ème point, b répond en reliant les 2 points de la boucle par l'intérieur. a est alors obligé de jouer le 2ème point en boucle et b termine. Si la boucle enferme le 2ème point, alors b répondra en reliant les 2 points de la boucle par l'extérieur.



a doit donc relier les 2 points.

b répond en reliant les points extrêmes, on a alors une boucle de 4 points, aucune boucle 1 point n'est plus possible.

a doit alors relier 2 points :
-si 2 consécutifs par l'extérieur, b répond en reliant les 2 autres par l'intérieur.
-si 2 conécutifs par l'intérieur, b répond en reliant les 2 autres par l'extérieur.
-si 2 points en diagonale: quel que soit la réponse de b, a ne pourra pas jouer une 3ème fois.

Salut ! Le 1er perd d'après les suites ci-dessous. Je pense ne pas avoir oublié de cas.

J'ai complété mon texte pour le cas de la boucle " 1er point " qui peut ou non enfermer le 2ème point. Mais il s'agit bien de toute façon de la même idée selon laquelle les boucles prédisposent à isoler des points et à les empêcher d'être reliés avec une 3ème liaison.
Je soupçonne qu'il va y avoir une suite à cette question....

@nodgim : c'était bien cela que je sous entendais, je suis d'accord que c'est la même idée.

Pour ton autre remarque, on pourrait effectivement préciser. Mais s'il y a tangence, alors il y a un point de contact, donc on coupe une ligne précédemment tracée, ce qui est interdit. Enfin bon, c'est un jeu papier crayon, on va éviter les considérations topologiques trop abstraites, disons juste qu'il est très vilain de tricher

@golgot59 : c'est bien cela !

Félicitations aux participants, qui avaient tous trouvé la bonne stratégie. La principale difficulté est de ne pas se perdre parmi toutes les possibilités de tracé. Une façon compacte et exhaustive de visualiser la solution est la suivante :

* si le premier joueur relie un point à lui-même, il divise alors la feuille en deux régions. Le deuxième joueur relie alors les deux points de la boucle qui vient d'être créée par un chemin dans la région qui ne comporte pas le point isolé restant. Il reste alors deux coups à jouer avec ce point isolé.

* si le premier joueur relie les deux points entre eux, le deuxième répond en reliant ces deux mêmes points, formant une boucle à 4 points qui là aussi divise la feuille en deux régions. Si ensuite le premier joueur relie deux points de la boucle dans une des deux régions, le deuxième joueur répond en reliant les deux autres points de la boucle dans l'autre région, et la partie est terminée.

Pour finir, puisque nodgim semblait espérer une question subsidiaire, je propose d'analyser le jeu à deux points sur un ruban de Möbius (on imagine qu'on fabrique un tel ruban avec du plastique transparent, et qu'on joue avec un feutre).

Oui, avec 3 points, c'est bien ça. On peut faire une analyse relativement simple du jeu jusqu'à n=5, après, des analyses manuelles existent mais ça devient long, il vaut mieux avoir recours à l'ordinateur.

Pour savoir quel joueur gagne en fonction de n, il y a une conjecture qui existe (le joueur 2 gagne ssi n=0, 1, ou 2 mod 6) qui a été vérifiée informatiquement jusqu'à de grandes valeurs de n (plus de 40), mais qui parait très difficile à démontrer.