Très bonne question . Il ne doit pas y avoir de "trou" à l'intérieur de la boucle, ce qui limite légèrement le nombre de solutions.
Je rajoute cette condition dans le sujet.

A part ça, pourquoi pas un programme ? On a pu en faire un pour calculer toutes les combinaisons du Pentamino. Je pense qu'il y en a nettement moins dans ce problème. Alors, si cela te tente ...

Moins car le nombre de type de virage est également limité.
Je réfléchissais plutôt à l'inverse, quel serait le contre exemple, quel est le cas limite qui imposerait le plus de contrainte jusqu'à atteindre le point bloquant.
Avec un trou au milieu, il est facile de trouver un contre exemple, mais la contrainte sans trou rend le problème vraiment difficile à bloquer.

Je me faisais la même réflexion que godisdead, ainsi que celle-ci :

Est-il bien judicieux d'essayer de transposer un réseau triangulaire sur un réseau en hexagones ? En plus, deux tuiles ont un parcours rectiligne, avec des faces parallèles, ce qui rend difficile l'obtention d'un réseau triangulaire...

Voici ce que donne le découpage en un maximum de triangles en conservant les frontières entre les tuiles sur l'exemple que je donnais dans le sujet :

             

Ce n'est pas à proprement parler un réseau !

Enfin, l’obtention de toutes les configurations de lignes rouges fermées sans tenir compte des autres couleurs, laisse ouverte la conjecture : est-ce qu'il y aura autant de configurations qui respecteront la continuité des autres lignes et le fait que toutes les zones hexagonales du pourtour puissent recevoir (au moins) l'une des 14 tuiles en respectant encore cette continuité  ?

Merci pour cette leçon. Décidément, je suis vraiment un piètre amateur en mathématiques ...

Si j'ai bien compris, il faut commencer par repérer parmi les 13224 solutions, celles qui sont sans trous et qui possèdent à la fois 6 angles de 60° et 6 angles de 120°.
Il devrait déjà y en avoir beaucoup moins.

Puis vérifier (désolé d'y revenir, mais c'était le but de ce problème) que toutes ces solutions sont compatibles avec la continuité des deux autres couleurs des 14 tuiles de Tantrix, y compris sur les bords...

Comme il ne doit pas y avoir de trou à l'intérieur de la boucle, la figure en bleu sur mon message précédent est un polyomino triangulaire à 12 triangles (un dodekiamond), ce qui limite un peu plus le nombre de figures possibles.

https://oeis.org/A070765 donne 3226 telles figures sans trou.

Sur http://www.mathpuzzle.com/12_e.gif sont représentés ces dodekiamonds (y compris ceux avec trou).

Mais parmi toutes ces figures, assez peu ont exactement 6 angles de 60° et 6 angles de 120°...

Je vais essayer de faire un programme Python pour dessiner toutes les boucles. Ça tombe bien, il faut que j'apprenne à programmer en Python. J'espère juste que tu n'es pas trop pressé

Au prix d'un bel effort de procrastination (car j'ai plein de boulot par ailleurs et une fameuse envie de pas le faire), j'ai rédigé un programme. Il trouve 507 boucles, sous réserve d'éventuels bugs.



(enregistrer cette image quelque part pour la voir en plus grand)

Je tiens mon code à disposition de ceux que cela intéresserait, il fait 240 lignes, c'est pour ça que je m'abstiens de le poster (c'est long).

Oui.

Spoiler : [Afficher le message] Mmh, je ne vois pas ce que je casse comme baraque, c'est-à-dire ce que tu comptais faire comme énigmes avec ça ?

Un bug faisait que certaines positions apparaissaient plusieurs fois dans la liste. Il est corrigé, mais il en reste peut-être, prudence...



Ça fait 363 boucles en tout.