Enigme Conjecture ou pas? @ Prise2Tete

kossi_tg · #1

Existe-t-il un couple d'entiers naturels (n,m) tel que [latex]2^n=3*m[/latex]?
Si oui, le(s)quel(s)?
Si non, comment démontrer cette inexistence?

Amusez-vous bien

godisdead · #2

Ce n'est pas une démonstration, mais une puissance de 2 se décomposera comme ceci : 2 * 2 * ... * 2 et ne sera jamais multiple de 3 !

rivas · #3

Je dois rater quelque chose ????

Le nombre de droite a 3 dans ses facteurs premiers, le nombre de gauche que des 2. Donc d'après l'unicité de la décomposition en facteurs premiers, l'égalité est impossible.

SabanSuresh · #4

Je pense que non car dans la décomposition en nombres premiers de 2^n, il n'y a n 2 mais aucun 3.

Franky1103 · #5

On pourrait démontrer cette inexistence par l'absurde: si ce couple existait, alors le nombre 3 ne serait pas premier.

Promath- · #6

Non car la décomposition en nombre premiers ne comptera que des 2 donc pas multiple de 3

nodgim · #7

Il n'y pas de 3 à gauche de l'égalité, comment veux tu trouver une solution ?

cogito · #8

Si n est pair alors [latex]2^n \equiv 1 [3][/latex]

Si n est impair alors [latex]2^n \equiv 2 [3][/latex]

Donc les puissances de deux ne sont jamais congrues à zéro modulo 3, c'est à dire qu'une puissance de 2 n'est jamais un multiple de trois.

On peut voir ça aussi en remarquant que 3 n’apparaît pas dans la décomposition en nombre premier de [latex]2^n[/latex].

MthS-MlndN · #9

Evidemment qu'un tel couple n'existe pas.

(Commentaire de mon amie : "elle est bonne, celle-là".)

Démonstration brève (avec une récurrence super-simple) : [latex] 2^n[/latex] est congru à 2 modulo 3 si n est impair, et à 1 si n est pair.

(Ou alors, on utilise l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.)

perceval · #10

Au risque de dire une grosse c*******, les puissances de deux ne peuvent admettre 3 comme diviseur. Donc il n'existe aucun couple (n,m) entiers naturels qui satisfasse la condition énoncé.

masab · #11

Un tel couple n'existe pas.
En effet 2 est congru à -1 modulo 3.
Donc la relation 2^n=3*m donne
[TeX](-1)^n\equiv 0 \ \mod 3[/TeX]
ce qui est impossible.

looozer · #12

Ce couple n'existe pas :

2^n (n non nul) n'a que des 2 dans sa décomposition en facteurs premiers donc pas de facteur 3

2^0 = 1 : pas de facteur 3 non plus

cqfd

shadock · #13

Je donne ma version plage donc succincte :

Le chiffres des unités de [latex]2^n[/latex] est soit 1 2 4 8 6
Comme 6 est le seul qui n'est pas premier dans un premier temps on peut penser que c'est possible. Mais intuitivement je ne pense pas que ce soit possible.

Affaire à suivre, shadock

fix33 · #14

2^n n'a que 2 comme diviseur (quelle que soit la valeur de n), ce qui exclut donc 3 de ses diviseurs et donc l'égalité proposée !

gwen27 · #15

2^n est pair donc m est pair
on divise par 2....
2^(n-1)=3x(m/2)

par récurence : 2 =3x impossible

enigmatus · #16

[TeX]2^0=3*3^{-1}[/TeX]

SabanSuresh · #17

Bien vu !

gwen27 · #18

Je ne vois pas en quoi.

Depuis quand 3^(-1) est-il un entier naturel ?

SabanSuresh · #19

Je vais me taire.

enigmatus · #20

gwen27 #18 a écrit:
Depuis quand 3^(-1) est-il un entier naturel ?

Ce sont [latex]m[/latex]et[latex]n[/latex] qui doivent être des entiers naturels.

kossi_tg #1 a écrit:
Existe-t-il un couple d'entiers naturels (n,m) tel que : [latex]2^n=3*m?[/latex]

kossi_tg · #21

[latex]2^n=3*m[/latex], et quand tu mets [latex]2^0=3*3^{-1}[/latex] comme réponse, cela suppose que [latex]m=3^{-1}[/latex] or [latex]3^{-1}[/latex] n'est pas un entier

enigmatus · #22

On peut effectivement l'interpréter comme ça, mais pour moi le point d'interrogation représentait l'exposant. Je savais de toute façon que ma réponse était fantaisiste, mais je la trouvais amusante.

MthS-MlndN · #23

"On peut effectivement l'interpréter comme ça" ? C't'une blague, n'est-ce pas ?

shadock · #24

Cela suppose surtout que -1 est un entier naturel...

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#1 - 13-08-2013 13:51:58

Conjectue ou pas?

#0 Pub

#2 - 13-08-2013 14:27:13

Conjecture uo pas?

#3 - 13-08-2013 14:34:04

Conjecture ou pas

#4 - 13-08-2013 15:55:44

Conjjecture ou pas?

#5 - 13-08-2013 15:57:26

Conjecture ou aps?

#6 - 13-08-2013 17:53:44

conjecture ou oas?

#7 - 13-08-2013 19:01:37

Conjeture ou pas?

#8 - 13-08-2013 19:14:17

oCnjecture ou pas?

#9 - 13-08-2013 20:12:34

vonjecture ou pas?

#10 - 13-08-2013 20:56:42

Connjecture ou pas?

#11 - 13-08-2013 22:17:42

conjecture ou pad?

#12 - 13-08-2013 22:28:51

Conjetcure ou pas?

#13 - 14-08-2013 00:34:09

Conjecture ou pass?

#14 - 14-08-2013 10:24:24

Conjecutre ou pas?

#15 - 14-08-2013 13:11:07

conjzcture ou pas?

#16 - 09-12-2013 20:45:02

conjectuee ou pas?

#17 - 09-12-2013 21:37:19

conkecture ou pas?

#18 - 09-12-2013 21:41:01

Conjecture ou pas

#19 - 09-12-2013 21:55:30

conjecture oi pas?

#20 - 09-12-2013 22:38:09

Conjecture ou aps?

gwen27 #18 a écrit:

kossi_tg #1 a écrit:

#21 - 09-12-2013 22:50:26

Conjecture ou ps?

#22 - 10-12-2013 07:36:14

Conjecture ou pa?

#23 - 10-12-2013 08:35:41

Conjectur eou pas?

#24 - 10-12-2013 18:24:04

cpnjecture ou pas?

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