Es tu sûr d'avoir identifié une limite unique ?

On montre facilement que ce rapport vaut 1/2 pour les nombres premiers et 1/4 au plus pour les multiples de 4. 

En revanche, je n'ai pas compris la remarque sur la densité des carrés dans N. Elle est nulle, bien sûr, mais qu'attends tu comme réponse ?

Soit s(n) le nombre de carrés dans Zn - i.e. le nombre de y dans 0..n-1 présentant une solution à x²=y, modulo n
Soit q(n) le nombre de résidus quadratiques dans Zn - les y ci-dessus qui sont premiers avec n.

Montrons que s et q sont multiplicatives - i.e. si m et n sont premiers entre eux, s(m.n) = s(m).s(n) et idem q(m.n) = q(m).q(n)
Soient m et n premiers entre eux : Z(m.n) est identique à Zm x Zn, à un isomorphisme près z -> la paire (z mod m, z mod n)

- Soient un carré dans Z(m.n) : x et y tels que x² = y mod m.n, on a (x mod m)² = (y mod m) mod m.n, et idem mod n.
- Soient un carré dans Zm et un autre dans Zn : (x1*x2)² = (y1*y2) mod m.n

Tout carré dans Z(m.n) correspond donc à une paire de carrés (un dans Zm et un dans Zn) et vice versa : donc s(mn) = s(m).s(n).

De là, on montre pareil pour q puisque y premier avec m.n implique y premier avec m et y premier avec n.


Une fois ce résultat démontré, considérant la décomposition en nombres premiers n=produit(p_i^alpha_i), s(n)=produit(s(p_i^alpha_i)) et idem pour q
Reste plus qu'à déterminer s et q pour des puissances de nombres premiers.
Soit p premier. Les carrés de Z(p^n) se décomposent en deux parties :
- les résidus quadratiques
- et les autres qui ne sont pas premiers avec p^n ==> donc multiples de p

Un carré non résidu est donc multiple de p (et même de p² puisque carré). On obtient donc la formule suivante
    s(p^n) = q(p^n) + s(p^(n-2))
En effet, puisque chaque carré non résidu est un multiple de p², il correspond à un carré modulo p^(n-2) multiplié par p² ensuite

Exemple avec les puissances de 3
3^2
- 1, 4, 7 résidus
- 0 carré
3^4
- 1, 4, 7 , 10 , 13 , 16 , 19 , 22 , 25 , 28 , 31 , 34 , 37 , 40 , 43 , 46 , 49 , 52 , 55 , 58 , 61 , 64 , 67 , 70 , 73 , 76 , 79 résidus
- 0, 9, 36, 63 autres carrés
Et (0, 9, 36, 63) sont bien 9* (0, 1, 4 7) trouvés pour 3^2


A partir de là c'est plus facile. On peut trouver q pour p impair à partir de l'indicatrice phi (c'est phi/2)
Phi est elle même est vachement simplifiée par le fait qu'on considère p^n, et phi(p^n) = p^(n-1)(p - 1) ou encore p^n - p^(n-1)
Accessoirement, s(p^0) = s(1) = 1 et s(p) = q(p) + 1 (puisque tous les carrés sont des résidus sauf 0)

En faisant marcher la formule de récurrence, on a
s(p^2k) = q(p^2k) + q(p^2k-2) + q(p^2k-4) + ... + q(p²) + s(p^0)
  = somme((-p)^j, j=1..2k)/2 + 1
  = (p^(2k+1)-p)/2(1+p) + 1
 
s(p^(2k+1)) = q(p^2k+1) + q(p^2k-1) + q(p^2k-3) + ... + q(p^3) + q(p) + 1
  = -somme((-p)^j, j=0..2k+1)/2 + 1
  = (p^(2k+2)-1)/2(p+1) + 1
 
En rentrant le 1 sur le même dénominateur, on a
- s(p^n) = (p * (p^n + 1) + 2) / (2p+2) pour n pair
- s(p^n) = (p * (p^n + 2) + 1) / (2p+2) pour n impair

C'est joli non ?
Par exemple, pour 45, on a s(9)*s(5) = 4*3 = 12, et il y en a effectivement 12 :  0 , 1 , 4 , 9 , 10, 16 , 19, 25 , 31, 34, 36 et 40

Pour p=2, je me rappelle plus, mais y'avait une astuce.
Ca me reviendra

Ca n'aidera pas à calculer ta limite
Mais je trouvais la formule jolie

Voilà j'ai tout retrouvé
Les formules pour les puissances de deux sont trouvables à partir de q(2^n), qui vaut 1 pour 2 et 4, et sinon 2^n/8 (je peux formaliser la démo au besoin mais bon)
Du coup, en sommant les q(), on trouve les s(), comme avant.

Donc, les formules sont:
[TeX]

s(2^n) = \frac{2^{n-1}+4}{3} \text{ pour n pair}\\
s(2^n) = \frac{2^{n-1}+5}{3} \text{ pour n impair}\\
s(p^n) = \frac{p.(p^n+1) + 2}{2p+2} \text{ pour n pair}\\
s(p^n) = \frac{p.(p^n+2) + 1}{2p+2} \text{ pour n impair}\\
s(m.n) = s(m).s(n) \text{ pour m et n premiers entre eux}
[/TeX]
Ca permet un calcul très rapide du résultat - pour un nombre à 15 chiffres je fais du 5 millièmes de secondes sans même filtrer sur les nombres premiers!!!
Ex :  [latex]\sigma(123456789101112) = 7719215530650[/latex]

Et pour 1234567891011121314151617181920 : 13503132102537699880289461920 en 5 secondes.

Le fait que la densité des carrés dans N soit nulle ne me semble pas contrintuitif, mais j'ai appris à me méfier de l'infini: LOL

Oui, en effet.
Considérant les nombres premiers par exemple, on à [latex]\frac{\sigma(p)}{p} = \frac{p+1}{2p}[/latex], limite = [latex]\frac{1}{2}[/latex]

Pour un nombre square-free, on ne converge pas : la valeur est en [latex]\frac{1}{2^q}[/latex] avec q nombre de facteurs premiers, mais à aucun moment on atteindra u square-free suffisamment grand pour que le ratio soit inférieur à 1/2: il existera toujours un nombre premier plus grand que ce square-free pour lequel le ratio sera 1/2

Du coup, pour répondre à la question la limite n'existe pas puisque le ratio ne converge pas. La définition d'une limite est la suivante:
soit L la limite, si elle existe : pour tout [latex]\epsilon > 0 [/latex] aussi petit qu'on veut, il existe un [latex]N[/latex] tel que pour tout [latex]n>N[/latex], [latex]|\frac{\sigma(n)}{n} - L| < \epsilon[/latex].

Là, l'apparition de valeurs pour des valeurs de n premier empêchent toute convergence.
Le fait de pouvoir converger sur des sous-suites ne prouve pas grand chose - et de toute façon, puisque le ratio est compris entre 0 et 1, il est borné, et d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass on peut en extraire une sous-suite convergente.


Moi être content
Je crois bien que c'est la première fois en 18 ans que je ressors ce théroème