Bonjour,
Ce type d’énigme est résolu facilement si on connaît les quelques outils mathématiques adaptés à ce type de problèmes : le cercle trigonométrique et le plan complexe associé au plan géométrique (niveau Terminale).
Comme je ne connais pas le niveau de culture mathématique des membres de ce forum, je me permets de faire un petit rappel pour les uns (et un voyage de découvertes pour les autres)
Rappels justes nécessaires :
1/ Plan complexe associé au plan géométrique. Nombre complexe associé au rotations.
1.1/
Dans un plan, on place un repère (O, e1, e2). :
O est l’origine de coordonnées (0,0),
e1 est un vecteur unitaire de composantes (0,1) pour l’axe horizontal Ox et
e2 est un vecteur orthogonal à e1 de composantes (0,1) pour l’axe vertical Oy
Le repère (O,e1,e2) est dit orthonormal. Chaque point P a pour coordonnées (x,y) dans ce repère.
1.2/
A ce plan géométrique est associé un plan complexe de base (0,1, i) (j’expliquerai plus loin ce que signifie i dans le cadre de notre sujet)
A tout point P de coordonnées (x,y) du plan géométrique est associé un point complexe P du plan complexe de coordonnées (ou d’affixe)
p = x+i y sous forme cartésienne ou
p = r ( x cos (t) + i sin (t) ) sous forme trigonométrique ( r = le module = le « rayon » et t est l’angle -dans le sens trigonométrique- entre les vecteurs e1 [img][/img]et OP.
Dans un plan géométrique, les composantes d’un vecteur PQ dans ce sens = coordonnées de son point destination Q – coordonnées de son point source P :
De même dans le plan complexe , l’affixe d’un vecteur PQ = affixe du point destination – affixe du point source = q – p . Evidemment, pour un vecteur OP qui démarre en O, l’affixe du vecteur est simplement p.
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1.3/
L’intérêt du plan complexe, c’est que les rotations du plan géométrique sont « traduites » en multiplication par un nombre complexe dans le plan complexe.
Exemple : le nombre complexe associé à la rotation de 90 degrés dans le sens trigonométrique (= sens contraire des aiguilles d’une montre) s’appelle i .
Si au vecteur OP de composantes (x,y) du plan géométrique est associé dans le plan complexe un point complexe P d’affixe p alors au vecteur OP’ rotation du vecteur OP de 90° est associé le point P’ d’affixe p’= i p .
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Si au vecteur OP’ du plan géométrique est associé dans le plan complexe un point complexe P’ d’affixe p’ alors au vecteur OP’’ rotation du vecteur OP’ de 90° est associé le point P’’ d’affixe p’’= i p’ = i (i p) = i² p = - p car OP’’ = -OP
Signification intuitive :
2 rotations successives de 90 degrés = 180° = direction opposée è Se traduit par : la multiplication 2 fois de i par i = i².
Ainsi l’écriture i²=-1 signifie pour nous ici que 2 rotations successives de 90° inversent la direction (le mot oppose serait plus correct).
Cela « explique » aussi pourquoi le repère du plan complexe est (O, 1, i ) car 1 représente l’affixe de e1 et i représente l’affixe de e2 perpendiculaire à e1 dans le sens trigonométrique donc e1 ayant subi une rotation de 90°.
ATTENTION : la rotation d’un vecteur implique que le module du vecteur final est de même valeur que le module du vecteur initial (on le fait seulement tourner). De même, la multiplication par un nombre complexe conserve le module.
1.4/
Dans le cas qui va nous intéresser, j’appelle k le nombre complexe associé à la rotation de 60°.
Intuitivement, nous pouvons comprendre que 3 rotations successives de 60° = 180° inversent la direction . Donc k^3 = -1. Mais la visualisation de ces nombres est plus intéressantes dans le cercle trigonométrique.
2/ Cercle trigonométrique
2.1/
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré sur O (0,0).et porté sur 2 axes Ox horizontal et Oy vertical .Les angles sont orientés dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. L’origine des angles est l’axe Ox :l’angle (OA0,OA0)= 0°, (OA0,OA1) = +60°, (OA0,OA2) = +120°.
Les vecteurs OAi sont obtenus à partir de OA0 par rotations successives de 60° = PI/3. Dans le plan complexe cela se « traduit » par des multiplications successives par k. Ainsi les affixes des points A0, A1, A2, A3 … sont successivement 1, k, k^2, k^3, …
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2.2/
Ce qui important de « voir » c’est que la somme vectorielle dans le plan géométrique se traduit par une somme de nombres complexes dans le plan complexe.
Exemple : dans le plan vectoriel, la somme des 3 vecteurs OA1 + OA3 + OA5 = 0 (imaginez 3 personnes qui tirent sur des câbles avec la même force (module des vecteurs égaux) dans ces 3 directions => le point O ne bougera pas). De même, dans le plan complexe, la somme –1 + k – k^2 = 0 .
Vous avez aussi O0+OA2+OA4 = 0 è 1 + k^2 –k = 0 qui est l’opposé de l’équation ci-dessus.
Armés de ces outils, traduisons l’énigme :
3/ Hypothèses de l’énigme
Soient 3 points A,B,C situés sur un cercle de centre O
(1) Soient A’, B’, C’ les images des A,B,C après rotation de 60° sur le cercle.
(2) M,N,P milieux de [A’B], [B’C],[C’A]
(3) Montrer que MNP est un triangle équilatéral comme vous vous en doutiez tous.
NOTA : l’énigme suppose que les points sont sur un cercle. En fait cette hypothèse n’est pas nécessaire : vous constaterez que MNP continue d’être équilatéral MÊME SI A,B,C ne sont pas à égales distances de O !
Traductions dans le plan complexe :
a,b,c,a’,b’,c’,m,n,p affixes de leurs points respectifs
(1) se traduit par : a’ = ka , b’=kb , c’=kc
(2) se traduit par m=(a’+b)/2 , n=(b’+c)/2 , p=(c’+a)/2
(3) MNP équilatéral dans cet ordre
=> le vecteur MP = le vecteur MN ayant subi une rotation directe de 60° (et cette seule transformation est suffisante)
=> m – p = k (m – n) ce qui est à démontrer.
Rappel : k est le nombre complexe qui traduit une rotation de 60° (cf cercle ci-dessus)
4/ Résolution
La résolution commence véritablement ici :
m – p = k (m – n)
=> d’après (2)
½ (a’+b) – ½ (c’+a) = k ( ½ (a’+b) – ½ (b’+c)
=> en multipliant par 2 pour éliminer les ½ et en transposant tout du même côté :
a’ + b - c’ – a -ka’ –kb + kb’ + kc =0
=> en remplaçant a’,b’ et c’ d’après (1)
ka + b –kc – a – kka – kb + kkb + kc =0
=> en regroupant les termes en a,b,c
a (-1 + k – k^2) + b (1 – k + k^2) + c (+1 –1 ) = 0
=> d’après le paragraphe 2.2/ nous savons que
(-1 + k – k^2) =0
(1 – k + k^2) =0
et évidemment (+1 –1 ) =0 CQFD
Vous noterez qu’à aucun moment nous n’avons besoin de supposer que les distances OA, OB, OC sont égales è les points ABC n’ont pas besoin d’être sur le cercle inscrit par ABC.
5/ Pour ceux que çà intéresse, voici une énigme dans la même veine :
Soit un carré OABC. Soit un carré OPQR « accroché » au carré précédent en O selon un angle quelconque.
Soient OCMP et ORNA les 2 parallélogrammes qui jouxtent les 2 carrés.
Montrer que le polygone des centres de ces 4 polygones ci-dessus est un CARRE quelque soit la taille des carrés de départ et l’angle d’accroche !!
Piste : cette fois, le nombre complexe à utiliser est i . faites le cercle trigonométrique.
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