Si j'ai bien compris (et construit ma figure), je dirais qu'il y a n+m+1 triangles et nXm quadrilatères. Mais je ne vois pas de parallélogramme, ce qui me parait normal, vu que les côtés de ces quadrilatères ont, deux à deux, la même origine. Me serais-je gravement planté?
De toutes façons je ne vois pas comment le démontrer

Je m'étais bien planté; après quelques échanges de MP  j'arrive à un nombre de triangles égal à:

1/2(m+1)(n+1)(m+n+2)

et bien sûr toujours pas de parallélogrammes!

Si je peux vous donner un conseil, c'est de commencer avec un cas particulier simple du genre n=2 et m=3. Il est plus facile de généraliser à partir d'un cas concret.

Il est peut-être encore plus simple de commencer le raisonnement avec uniquement les lignes n ou m.

Attention aussi de ne pas oublier les petits triangles, les moyens, les grands et les autres.

Excellent FRiZMOUT aucune erreur.

Les deux réponses sont celles attendues.

Le raisonnement me semble plus simple que le mien.

Bonjour à tous,


Félicitations à FRiZMOUT et Papy04 pour avoir résolu le problème.

Je m'incline devant l'obstination de Papy04 qui n'a pas baissé les bras malgré ses tentatives infructueuses.

Merci à tous pour votre participations.


Voici les solutions:

- Combien sont des triangles ?

$$(n+1).(m+1).(M+1)$$
avec la moyenne $M=\frac{(n+m)^}{2}$

- Combien sont des parallélogrammes ?

Aucun puisque les différents segments convergent.


Démonstration:

Soit A le sommet d'où sont tracé les n segments et B le sommet d'où sont tracé les m segments.
[TeX]N[/latex] (le nombre de triangle total)
=
[latex]N_{A}[/latex] (le nombre de triangle comprenant A)
+
[latex]N_{B}[/latex] (le nombre de triangle comprenant B)
-
[latex]N_{AB}[/latex]le nombre de triangle comprenant A et B

Les triangles comprenant A sont définis par A (bien sûr) et deux autres points. Ces points sont déterminés par 1 segment partant de B parmi (m+2-le segment AB) et 2 segments partant de A parmi (n+2). Toutes les combinaisons déterminent un triangle différent.
Il y en a donc:

[latex]N_{A}=\binom{m+1}{1}.\binom{n+2}{2}[/TeX]
Par symétrie du problème, on trouve aussi
[TeX]N_{B}=\binom{n+1}{1}.\binom{m+2}{2}[/TeX]
Les triangles comprenant à la fois A et B sont définis par A, B et un troisième point lui-même déterminé par 1 segment partant de A parmi (n+2-le segment AB) et 1 segment partant de B parmi (m+2-le segment AB). De nouveau toutes les combinaisons déterminent des triangles différents.
Il vient:
$$N_{AB}=\binom{n+1}{1}.\binom{m+1}{1}$$
D'où finalement,
$$N=\binom{m+1}{1}.\binom{n+2}{2}+\binom{n+1}{1}.\binom{m+2}{2}-\binom{n+1}{1}.\binom{m+1}{1}$$
Ce qui revient à,
$$N=\frac{(m+1)!}{1!.m!}.\frac{(n+2)!}{2!.n!}+\frac{(n+1)!}{1!.n!}.\frac{(m+2)!}{2!.m!}-\frac{(m+1)!}{1!.n!}.\frac{(n+1)!}{1!.n!}$$ $$=\frac{(m+1).(n+1).(n+2)}{2}+\frac{(n+1).(m+1).)(m+2)}{2}-(m+1)(n+1)$$ $$=(m+1).(n+1).\left [ \frac{(n+2)}{2}+\frac{(m+2)}{2}-1 \right ]$$
et en posant $M=\frac{m+n}{2}$, on trouve finalement la formule,
$$N=(m+1).(n+1).(M+1)$$
Et dans le cas particulier où $m=n$,
$$N=(n+1)^3$$
Une solution ma foi très élégante qui fait tout l'intérêt du problème.