Le 5° chiffre est 5 ou 0, forcément (pour la condition (5)), et le 10° est 0 pour respecter la condition (10). Donc le 5° chiffre est 5 et le 10° est 0.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 = 5 x 9 donc la condition (9) est respectée quoi qu'il arrive.
Les chiffres 2, 4, 6 et 8 sont pairs, les chiffres 1, 3, 7 et 9 sont impairs.
Pour respecter (4), comme le troisième chiffre est pair, le chiffre 4 ne peut être que 2 ou 6.
Le chiffre 6 est pair, et le 7 impair. Pour respecter (8), le chiffre 8 doit valoir 2 ou 6.
Donc les chiffres 2 et 6 sont 4 et 8.
La somme du chiffre 1 et du chiffre 3 ne doit pas être divisible par 3, pour respecter (3). Donc 3/9 exclu. Je vais aller loin avec ça...
D'une façon similaire, pour respecter (6), il faut et il suffit que la somme des chiffres 7, 8 et 9 ne soit pas multiple de 3, donc la somme c7+c9 ne doit pas être congrue à 2 modulo 3. 1/7 est exclu.
La condition (7) est presque ingérable... Le chiffre c1, moins le nombre c2c3c4, plus le nombre c5c6c7, doit être divisible par 7... Aïe.
Essayons à coups d'hypothèses alors, mais laquelle nous simplifierait le plus la tâche ?.. Essayons :
HYPOTHESE : le deuxième chiffre est 4.
Par conséquent le sixième est 8.
_ 4 _ 2/6 5 8 _ 2/6 _ 0
Les deux premiers chiffres doivent être 1 et 7 pour respecter (3).
1/7 4 1/7 2/6 5 8 3/9 2/6 3/9 0
Si le premier chiffre est 1, alors le troisième est 7, et 147 étant divisible par 7, il faut que le nombre formé par les chiffres 4 à 7 dans l'ordre soit divisible par 7 pour respecter (7). Ce nombre peut être :
2583 = * 369
2589 : non divisible par 7.
6583 : non divisible par 7.
6589 : non divisible par 7.
Donc : 1 4 7 2 5 8 3 6 9 0, et 14725836 n'est pas divisible par 8.
Donc l'hypothèse bis "le premier chiffre est 1" est fausse : le premier chiffre serait 7 et le troisième chiffre 1.
7 4 1 2/6 5 8 3/9 2/6 3/9 0
Les nombres à sept chiffres que l'on peut former :
7412583
7412589
7416583
7416589
Aucun n'est divisible par 7.
L'HYPOTHESE EST FAUSSE.
Le deuxième chiffre est 8.
_ 8 _ 2/6 5 4 _ 2/6 _ 0
Pour respecter (3), les chiffres 1 et 3 seront 1/3 ou 1/9 ou 3/7 ou 7/9. Nous voilà avancés. Une équiprobabilité parfaite et aucune hypothèse probante à faire. Petit à petit, l'oiseau fait son nid ?! 
Pour respecter (8), il faut que le nombre formé des chiffres 6 à 8 soit multiple de 8, donc que le nombre formé des chiffres 7 et 8 soit un multiple de 8. Le premier chiffre de ce nombre est 1/3/7/9 et le deuxième 2/6. On peut avoir 16, 32, 72 ou 96. Encore de l'équiprobabilité. Fichtre.
HYPOTHESE : le septième chiffre est 1.
Alors le 8° est forcément 6.
_ 8 _ 2 5 4 1 6 _ 0.
Quels sont les nombres à sept chiffres que l'on forme ainsi ?
3872541
7832541
7892541
9872541 : le seul à être divisible par 7.
Donc : 9 8 7 2 5 4 1 6 3 0, et 987254 n'est pas divisible par 6.
HYPOTHESE : le septième chiffre est 3.
Alors le 8° est forcément 2.
_ 8 _ 6 5 4 3 2 _ 0
1896543
7896543
9816543
9876543
Aucun divisible par 7.
HYPOTHESE : le septième chiffre est 7.
_ 8 _ 6 5 4 7 2 _ 0
Nombres à 7 chiffres :
1836547
1896547
3816547 : divisible par 7.
9816547
Donc : 3 8 1 6 5 4 7 2 9 0 fonctionne, j'ai vérifié.
HYPOTHESE : le septième chiffre est 9.
_ 8 _ 2 5 4 9 6 _ 0
1832549
3812549
3872549
7832549
Aucun n'est divisible par 7.
Donc, si je ne me suis trompé nulle part, un seul nombre répond à ces conditions, et c'est 3816547290. Il y a sans doute une façon plus propre de s'en tirer, mais sur la fin ce n'est que de l'obstination qui m'a mené au résultat
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