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 #1 - 13-12-2009 18:19:00

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,426E+3

Cetre de gravité

Un petit problème de géométrie-arithmétique :

On dessine un triangle dont les sommets sont des noeuds d'un quadrillage orthonormé . L'intérieur du triangle contient un unique noeud G et les côtés du triangle ne passent par aucun autre noeud du quadrillage .

http://img13.imageshack.us/img13/6057/centredegravit.jpg

G est-il toujours le centre de gravité du triangle ?

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

Indice 1 : Spoiler : [Afficher le message] Le centre de gravité G d'un triangle ABC est l'unique point du triangle tel que les aires des triangles ABG , BCG et CAG soient égales . 
Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message] On peut utiliser du papier quadrillé ou Pické .
Indice 3 : Spoiler : [Afficher le message] Le deuxième indice est un véritable ( et énorme ) indice .

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 #2 - 13-12-2009 23:47:23

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Centr de gravité

Histoire d'avoir au moins une réponse dans le fil ; jolie question !

http://enigmusique.blogspot.com/

 #3 - 14-12-2009 15:14:18

ollyfish2002
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 357
Lieu: Tenant

Centre de graavité

Oui
J'éditerai mon message en fonction du nombre de bonnes réponses et de participants...
Sérieusement, il ne doit pas y avoir beaucoup d'autre possibilités à celle que tu as dessiné hormi les symétriques.

"La science est une chose merveilleuse... tant qu'il ne faut pas en vivre !"  Albert Einstein.

 #4 - 14-12-2009 15:52:17

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 11×569

Centre de ravité

Sans aucune preuve, je n'ai dénombré que 2 configurations possibles respectant les critères.
Et dans les 2 cas il s'agit bien du centre de gravité.

 #5 - 14-12-2009 16:29:03

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 446

centee de gravité

Ca marche en tout cas pour la figure de l'énoncé et je ne trouve pas de contre exemple.

J'ai pas le temps pour une démo maintenant. Peut-être plus tard.


EDIT : il doit y avoir un truc du genre : le centre de masse est égale au centre de masse des points en comptant 1 pour les points intérieurs, 1/2 pour les points des cotés et 1/3 pour les sommets. Du coup, s'il n'y a qu'un seul point, c'est le centre de masse.
Je vais creuser ça.

 #6 - 14-12-2009 17:15:32

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,426E+3

centre dr gravité

Juste une petite intervention pour dire qu'il ne faut pas essayer de lister toutes les possibilités : il doit y en avoir une infinité !!!

Quelques exemples :

http://img695.imageshack.us/img695/2642/triangles1.jpg
http://img43.imageshack.us/img43/2900/triangles2.jpg

Bonnes recherches smile

Vasimolo

 #7 - 17-12-2009 15:43:30

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

Centre de gravtié

C'est sûr qu'avec l'indice sur Pick, ça devient plus simple.

3 sommets A, B, C et un point G unique à l'intérieur.

Aire (ABC) = 1+3/2-1= 1,5

Aire(ABG) = Aire (ACG) = Aire (BCG) = 0 + 3/ 2 -1 = 0,5

Donc G est bien le centre de gravité de ABC.

"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #8 - 17-12-2009 19:07:43

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,426E+3

Centre d egravité

A part le représentant de Dieu sur ce forum , personne ne semble avoir entendu parler de la Formule de Pick smile

Je vous encourage à faire une petite recherche "Google" . La formule est assez surprenante et expédie le problème en trois coups de cuillère à pot big_smile

Vasimolo

 #9 - 18-12-2009 01:25:18

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 446

Cenre de gravité

Hé bien! J'en étais pas loin de cette formule de Pick que je ne connaissais pas. Sauf que 1/3 pour les sommets, c'est pas bon.

D'après la formule de Pick, les aires des trois triangles formés par le noeud intérieur et deux sommets sont tous égales à un tiers de l'aire du grand triangle. Les hauteurs des trois petits triangles sont donc trois fois plus petites que les hauteurs respectives du grand triangle. Par homothétie, le noeud central se trouve aux tiers des trois médianes du triangle, c-à-d en leur intersection, le centre de masse.

CQFD

 #10 - 18-12-2009 18:41:03

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,426E+3

Centre de gavité

Bonne réponse de Sa Sainteté et sûrement de Milou ( mais je n'arrive pas à voir le raisonnement avec l'homothétie ) .

Je pensais que le problème susciterait plus d'intérêt sad

Vasimolo

 #11 - 18-12-2009 18:45:59

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 965

Cente de gravité

Plutôt qu'une homothétie, je verrais une affinité de rapport 1/3.
Je ne connaissais pas cette formule de Pick, c'en est une belle application : je tâcherai de la replacer en "société" lollollol

Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #12 - 10-02-2011 10:54:43

Roche-Bruyn
Visiteur

Centre d gravité

Un petit problème de géométrie-arithmétique :

On dessine un triangle dont les sommets sont des noeuds d'un quadrillage orthonormé . L'intérieur du triangle contient un unique noeud G et les côtés du triangle ne passent par aucun autre noeud du quadrillage .



G est-il toujours le centre de gravité du triangle ?

Amusez-vous bien

Vasimolo

Indice 1 : Spoiler : [Afficher le message]
Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message]
Indice 3 : Spoiler : [Afficher le message]

Je ne sais pas comment répondre, mais c'est évident que oui.

De fait, soit A, B et C trois points quelconques qui forment un triangle dont un seul noeud N de repère orthonormé est situé à l'intérieur.

Si je trace le segment médiateur de [BC] partant de A, il est sécant aux segments médiateurs partant de B (qui est celui de [AC]) et de C (qui est celui de [AB]). Je crée donc un seul noeud N de repère orthonormé.

N est donc toujours le centre de gravité G du triangle.

 

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