TiLapiot le point J a pour coordonnées (0,1)...

J'avais oublié de signaler que je cherche en même temps que vous.

Bonsoir,

L'indication donnée me confirme dans ma réponse à la question 1. Je n'avais pas procédé ainsi et c'est en effet plus facile

l'équation polaire dans un repère de centre A et d'axe (AJ) (c'est plus simple puisqu'on mesure les angles à partir de là) est:
$$r^2+r \cos \theta -\frac{3}{4}=0$$
d'où mon résultat
$$r=\frac{-cos \theta + \sqrt{\cos^2 \theta +3}}{2}$$
Je réfléchis donc tout haut à la question 2 :
si on note $\alpha$ la mesure en radians de l'angle (OJ,OM), $\alpha$ est la mesure de l'arc JM et on a:
$$\sin \alpha = \text{AM} \sin\theta$$
donc
$$\alpha = \arcsin (\text{AM} \sin \theta)$$
Ceci étant dit je ne vois pas de simplification du résultat.

Pour le calcul d'aire de la question 3 je n'ose pas imaginer un calcul d'intégrale. 
On peut peut-être proposer une différence entre $\alpha$ qui est l'aire du secteur OJM du cercle et $\frac{1}{4} \sin \theta$ qui est l'aire du triangle OAM

Bonjour,

1) Equation du cercle: x² + (y + 1/2)² = 1 soit: x² + y² + y -3/4 = 0
Soit a l'angle (AJ,AM); on a: x = AM sin a et y = AM cos a, ce qui donne:
AM² (sin² a + cos² a) + AM cos a - 3/4 =0 soit: AM² + AM cos a - 3/4 =0
Equation du second degré: discriminant D = cos² a + 3
Soit, en ne gardant que la racine positive:
AM = (- cos a +V(cos² a + 3)) / 2

2) Soit b l'angle (OJ,OM). Dans le triangle OAM, j'écris:
AM / sin b = OM / sin (pi - a) soit sin b = AM sin a
Or Arc JM = R b (b exprimé en radians) avec R = 1, ce qui donne:
Arc JM = arcsin [sin a (- cos a + V(cos² a + 3)) / 2], en simplifiant (un peu):
Arc JM = arcsin [(- sin 2a + V(7 - 6 cos 2a - cos² 2a)) / 4]

3) J'utilise le calcul différentiel:
Surf = Intégrale pour x variant de 0 à a de [Arc JM dx] avec l'expression ci-dessus en remplacant a par x: bonne chance.

Bonne journée.
Frank

Merci aux participants.
Franky je pense que si on applique ta méthode de calcul intégral au disque on n'arrive pas au résultat souhaité, j'ai peut-être mal compris...