A l'attaque

Le produit des nombres de 1 à 100 se terminera par le chiffre qui termine [latex](3 \times 4 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9)^{10}[/latex] (j'ai viré le [latex]2 \times 5[/latex] qui traînait) soit [latex]36288^{10}[/latex], qui se terminera comme [latex]8^{10}[/latex] qui se termine par 4.

1 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 se termine par 8 (on elimine 0,2 et 5)
8^10 se termine par 4, c'est donc 4

Bonsoir

Il me semble que 100! vaut :

93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000 .

Donc le dernier chiffre non nul est 4 . Sinon on peut décomposer 100! en facteurs premiers et évacuer les 24 facteurs 2 et 5 responsables des 24 zéros de la fin . Rien de réjouissant dans tout cela , j'espère qu'il y a une solution plus astucieuse et fantaisiste

Vasimolo

Meme si on a tous la même réponse, je suis pas d'accord du tout avec la logique "pour 10! ca finit par 8, pour 100! par 8^10"
En effet, ok pour virer le facteur 5 de 15, mais quid du 3 qui reste ? Pareil pour 25, c'est le 4 qu'il faudrait virer et pas le 2, vu que 25 = 5*5
Pour preuve:
30! = 265252859812191058636308480000000, mais 8*8*8 = 512

Mon raisonnement est le suivant:
Pour le calcul de 10!, on vire (à juste titre) les nombres 2, 5 et 10.
Pour 20!, on ne peut pas retirer simplement 12, 15 et 20, en effet il faudrait les remplacer par 6, 3 et 2 (car 20x17 par exemple, ça ne finit pas comme 17 mais comme 34)
Donc on a en fait 8^10 * 6*3*2*11*5*3*16*7*4*21*9*5*26*11*6*31*13*7*36*15*8*41*17*9*46*19
On vire tous les multiples de 5 introduits par 25, 50 et 75 (en virant un *8 par exemple), et on garde que les unités en virant les 1 et les 6 pour aller plus vite
4 *3*2*3*7*4*9*3*7*3*7*9*9
On vire les paires de (9;9) et (7;3)
4 *3*2*4*9, chiffre des unités : 4

bravo a tous ceux qui ont bien repondu

Rappel pour schaff60 :

scarta a écrit:

30! = 265252859812191058636308480000000, mais 8*8*8 = 512

Preuve par l'exemple que notre raisonnement de base est faux

Du coup, je me demandait s'il y avait une méthode plus simple (non pas que taper "100! / 10^24 modulo 10" sur WolframAlpha soit très compliqué, mais bon)

Encore raté...
D'après toi, 15! fini par u(15) = 15*u(14), 14! finit par 2, donc 15! finirait par 3 ...
J'ai jamais vu de nombre pair finir par 3

On élimine le 100 donc le multiplicateur précédent est 99 (donc le 9) qui multiplie un chiffre paire puisque celui d'avant est le 8 de 98. Alors on a que 4 possibilités: 2, 4, 6 ou 8. je ne sais pas si on peut s'en servir pour approfondir un peu plus mais c'est déjà ça !

En cherchant à justifier la réponse 4, j'ai du écrire pas mal de lignes... ce qui semble plus fastidieux que le calcul bestial de 100!, mais bon.. j'ai tout fait "à la main".

On va faire des regroupements pour diminuer la quantité de nombres à traiter :

On peut supprimer tous les nombres se terminant par 1 (les 10 présents au début, ainsi que tous ceux qui apparaîtront sur notre route), puisqu'ils sont "éléments neutres".

Une fois que l'on se sera débarrassé des multiples de 5, on pourra ne se consacrer qu'au chiffre des unités de chaque facteurs.

Les multiples de 10 :
Il y en a 10, on les supprime en les remplaçant par les nombres de 1 à 10, et on supprime le dernier 10 (en passant, on a supprimé 11 "zéro").

Les nombres terminants par 5 :
le 5 de 50, 5,15,25,35,45,55,65,75,85,95 que l'on remplace par 1,1,3,5,7,9,11,13,15,17,19 et 5^11.
En supprimant les 1-finaux et en séparant les 5, il reste :
3,7,9,13,3,17,19 et 5^13

On associe 5^13 à 2,8,16 et 32 = 2^13 (on supprime ainsi 13 zéro de plus et on a plus de 5 : donc 100 ! possède 24 zéro... je sais, c'est pas la question !!!).

Occupons nous des nombres pairs :
2-finaux : il y en 10 au début, +1 des 0-finaux, -2 de 2^13, donc 9 au total.
Les multiplications successives pas 2 donnent aux unités la suite 2,4,8,6,2,etc, donc les 2-finaux peuvent être remplacé par 2. (9 modulo 4 = 1)

4-finaux : 10 + 1 = 11, suite 4,6,4,6,etc donc on remplace par 4.

6-finaux : on se fiche du nombre d'occurences, ça donne toujours 6.

8-finaux : 10 + 1 - 1 = 10, suite 8,4,2,6,8,etc, on remplace par 4.

Finalement, on remplace 2, 4, 6 et 4 par 2 pour l'ensemble des pairs (2x4x6x4 est 2-final).

Intéressons-nous maintenant aux impairs :

3-finaux : 10 au début, +1 des 0-finaux, +3 des 5-finaux = 14. Les multiplications successives par 3 donnent 3,9,7,1,3,etc, donc on remplace par 9.

7-finaux : 10 + 1 + 2 = 13, suite 7,9,3,1,7 etc donc on remplace par 7

9-finaux : 10 + 1 + 2 = 13, suite 9,1,9, etc, donc on remplace par 9.

Finalement, on remplace 9,7 et 9 par 7

Multiplions les pairs par les impairs : 2 x 7 = 14.

Conclusion : 100 ! a pour premier chiffre non nul 4 (après une série de 24 "zéro", je sais, c'est pas la question).

D'accord Scarta. Tu peux encore améliorer en faisant des groupes de 10 nombres consécutifs. de 1 à 10 donne 4. Si 2 groupes de 10: 6. Donc si nombre pair de groupes:6, et si nombre impair de groupes: 4.

Par exemple
371!
37 donne 4, 4*1=4
371/5=74
74 donne 6 (à noter que 6 est neutre pour les multiplications de pair) 74=2*3*4=4
74/5=14
14 est 4*2*3*4=6
14/5=2
2 donne 2
Au final: 4*4*6*2=2