En notant x = ab et y = cd,

la première égalité se traduit par :
y * 60 + x - 90 = (x * 60 + y - 90) * 1.5, donc
x + 60 y - 90 = 90 x + 1.5 y - 135, donc
58.5 y -  89 x = -45 , donc

117 y - 178 x = -90                     (*)
avec 117= 3*3*13, et 178 = 2*89, premiers entre eux.

Tout consiste a trouver la solution parmi toutes celles qui vérifient ça, qui soit entre 0 et 59.

Cherchons donc les coefficients de l'identité de bezout pour ces nombres :

117 X + 178 Y = 1   (**)      (attention inversion de X et Y par rapport a x et y, plus le signe...)

On applique l'algorithme d'Euclide étendu :

Tout d'abord celui d'Ecuclide donne :
178 / 117 = 1 reste 61
117 / 61  = 1 reste 56
61 / 56 = 1 reste 5
56 / 5 = 11 reste 1 (ce qui prouve qu'ils sont premiers)

Donc on a en remontant l'algorithme :
1 = 56 - 5 * 11                                      (1 : derniere ligne)
   = 56 - (61 - 56) * 11                            (5 : avant derniere ligne)
   = 12 * 56 - 61 * 11
   = 12 * (117 - 61)  - 61 * 11                 (56 : deuxieme ligne)
   = 12 * 117 - 23 * 61
   = 12 * 117 - 23 * (178 - 117)                     (61 : premiere ligne)
1 = 35 * 117 - 23 * 178

Donc X = 35 et Y = -23 est solution de (**).

Donc y = - 90 * 35 =  - 3150 et x = 90 * -23 = - 2070 est une solution de  (*) (rappel de (*) : 117 y - 178 x = -90)

et toutes les solutions de (*) sont du type
( y = - 3150 + 178 k , x = -2070 + 117 k ), avec k entier...

il faut donc prendre un k tel que les deux soient entre 0 et 59, k valant vraissemblablement autour de 20 (un peu moins, si on regarde l'expression de x)

ca marche avec k=18 :

y=54     et      x=36.


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verification :                                       
       avec la minute et demie rajoutée  |    sans la mintue et demie rajoutée
le plus lent -         54min 36s = 3276s   |              =3186s   
le plus rapide -     36min 54s = 2214s   |              =2124s
et 3186 / 2124 = 1.5...

On tient le podium. Gratifié de la prime du plus rigoureux et du plus prolixe, McFlambi sera classé premier par le jury des commissaires, jury souverain en la matière. Nicouj et schaff60 ont aussi franchi la ligne d'arrivée
Bravo aux trois !

Hello,

Seconde de Allan Ternerouj = a
Seconde de John Mayo = j

Chronomètre final de Allan Ternerouj:
F=a+60j
Chronomètre final de John Mayo:
S=j+60a

1er chronomètre de a:
F-80=a+60j-80
1er chronomètre de j:
S-80=j+60a-80

j+60a-80=2(a+60j-80)
j+60a-80=2a+120j-160
58a=129j-80
a=(129j-80)/58

On sait que a et j sont inférieur à 60 et que j est pair.

Es-ce juste ? pour l'instant

J'étais en retard au départ de l'étape mais je vais essayer de me rattraper.

Tout d'abord vu la rédaction de l'énoncé (les secondes s'écrivent cd ou ab), je vais supposer que les temps sont des nombres entiers de secondes (sinon je ne vois pas tellement comment résoudre le problème ).

J'appelle t le temps de John, avant la pénalité, exprimé en secondes.
Après pénalité, John est donc crédité d'un temps de t+90 et Allan de 1,5t+90.
Si je note x le nombre de minutes du temps de John après pénalité et y le nombre de secondes de son temps, j'ai:
t+90=60x+y (E) et
1,5t+90=60y+x
avec x et y entiers de l'intervalle [0, 59] et y >=x puisque Allan arrive après John.

Par soustraction, j'arrive à t/2=59(y-x) soit t = 118(y-x)
Je note k = y-x, k est un entier de l'intervalle [0, 59] lui aussi.

J'ai maintenant t = 118k et y=x+k.
L'équation (E) s'écrit: 118k+90=60x+x+k soit [latex]x=\dfrac{117k+90}{61}[/latex]
Avec x et k entiers de l'intervalle [0,59].

Je n'ai pas vraiment cherché de façon de réduire les candidats 'k' par congruence, mais après quelques essais on trouve que k = 18 convient, ce qui donne x = 36 et y = 54. A noter que pour que x soit < 60, k doit etre < 31 et il n'y a pas d'autre solution.

Les temps corrigés de John et d'Allan sont donc de 36'54 et 54'36 et les temps non-corrigés de 35'24 et 53'06 (et on vérifie bien que le temps d'Allan est bien de 50% supérieur à celui de John).

Merci pour cette énigme.
Ca sent le tour de France

Merci pour votre participation et un bravo quasi général.
La première étape consiste à obtenir l'équation 178 y - 117 x = 90.
La résolution est moins simple, actuellement du niveau Terminale S, spécialité Maths...
Il y a aussi un bon lien : http://www.wolframalpha.com/input/?i=17 … 90+integer
Il suffit d'y faire n=0.