Petite analyse plus théorique, et moins informatique 
Un nombre peut être décomposé en produit de facteurs premiers, autrement dit [latex] n = \prod_i^\infty{p_i^{\alpha_i}[/latex], où [latex]p_i[/latex] correspond au i-ème nombre premier.
Un nombre est un carré si et seulement si [latex]\forall i, \alpha_i \equiv 0 [2][/latex] et de même un nombre est un cube si et seulement si [latex]\forall i, \alpha_i \equiv 0 [3][/latex].
Comme 2 et 3 sont premiers entre eux, on en déduit le résultat suivant : un nombre est à la fois un carré et un cube si et seulement si [latex]\forall i, \alpha_i \equiv 0 [6][/latex]
Résultat 1: un nombre est à la fois un carré et un cube si et seulement si c'est une puissance de 6
Prenons un nombre exacube valide N. D'après le résultat 1, [latex]\exists i \in \mathbb{N}, i^6 = N[/latex]. Par conséquent, [latex] (10i)^6 = 1000000 N[/latex] et donc en ajoutant 6 zéros à notre exacube on obtient une autre puissance de 6. La somme de ses chiffres reste constante (on y ajoute zéro 6 fois), d'où le résultat suivant:
Résultat 2: Tout exacube auquel on ajoute 6 zéros donne un autre exacube
Du coup, on ne va s'intéresser qu'aux exacubes "purs", à savoir ceux qui ne finissent pas par des zéros.
D'après le résultat 1, on cherche donc les puissances de 6 dont la somme des chiffres est aussi une puissance de 6. Les premières puissances de 6 sont 1, 64, 729, 4096...
Considérons 1: quels nombres ont pour somme de chiffre 1? Les puissances de 10 uniquement ! Et comme d'après le résultat 2, on ne s'intéresse qu'aux exacubes purs, seul 1 correspond.
Considérons maintenant 64: il est clair que pour obtenir une telle somme, il faut pas mal de chiffres dans notre nombre (au minimum 8 chiffres, puisque 9*7=63). Le premier nombre qu'on trouve est composé de 10 chiffres, ce qui correspond bien à ce résultat théorique.
D'autre part, on peut pressentir que le nombre d'exacubes purs ayant pour somme des chiffres 64 décrit une courbe de Gausse en fonction du nombre de chiffres dans l'exacube. Encore une fois, ce résultat se vérifie par l'experience, cf. ci-dessous le nombre d'exacubes purs en fonction du nombre de chiffre
10: 1
11: 2
12: 2
13: 5
14: 15
15: 18
16: 29
17: 20
18: 20
19: 18
20: 9
21: 7
22: 9
23: 6
24: 3
25: 3
26: 1
Ensuite, on remarque qu'on n'en trouve plus. Normal, vu que des nombres à 27 chiffres ou plus dont la somme est 64 deviennent de plus en plus rare (il faudrait une proportion anormale de "petits" chiffres).
Est-ce que celà signifie pour autant qu'il n'y en a plus ? Non, et ce pour 2 raisons:
- Improbable ne signifie pas impossible. Mais bon.
- On se contentait de 64 jusqu'alors. Mais comme expliqué plus haut, on pourrait rechercher comme somme 729 ou encore 4096 !!!
On va se concentrer sur 729 pour l'instant. Si la somme des chiffres fait 729, il nous faut au minimum 729/9 = 81 chiffres, mais bon le seul nombre à 81 chiffres serait 99999...9999, ce n'est pas un cube (vu que le nombre suivant, 10^81, est un cube).
On va plutôt tirer parti de ce qu'on a trouvé pour 64. Vu que le plus grand nombre de résultats est sorti pour 16 chiffres, la valeur moyenne des chiffres de ces nombre est 4 (vu que la somme de ces 16 chiffres est 64). On va supposer qu'on aura plus de chances de trouver un exacube pur dont la somme fait 729 en regardant les nombres à 729/4 = 182 chiffres.
D'après le résultat 1, on va initialiser notre recherche en partant d'un nombre i tel que i^6 soit à 182 ou 183 chiffres, et on devrait voir apparaitre quelques résultats!
Ca marche !!! Incroyable, mais vrai (on en trouve même un sacré paquet, très vite)
En effet:
2154434690031883721759293566591 ^ 6 =
1000000000000000000000000000199
5405246828662289496724303694626
9377734569629881727154564415167
1919690390185955219471832783454
2224998784619041020435409697491
5944940780368900442072951041
Ce nombre est une puissance de 6, donc un carré et un cube. La somme de ces chiffres fait 729, donc aussi un carré et un cube.
Voilà !!
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