Comment peut-on avoir une réponse arrondie à la seconde près alors que l'horloge ne comporte que deux aiguilles, celle des heures et celle des minutes?

12:05:02

Je raisonne avec les angles, mais on aurait pu simplifier, c'était juste pour mieux visualiser.

Si l'aiguille A des heures forme un angle de y° avec midi, l'aiguille B des minutes doit faire alors 12y. (conversion, 360/30)
Si l'aiguille A est lue comme étant une petite aiguille, l'aiguille B doit se trouver à 30x+y/12 (trentes degrés par heures qui ne changent pas la position de A minute)
On résout l'équation 12y=30x+y/12, en prenant x = 1, pour que y soit le plus petit possible et que l'évènement se produise la première fois.
Soit 12y=30+y/12 qui donne y = 360/143 degrés. On convertit les degrés en minutes puis secondes en prenant en compte le fait que y est l'aiguille des heures.

C'est arrivé à l'instant, j'ai testé !

Bonnes réponses de JulesV et Franky1103.

@Franky1103 : oui, tu as parfaitement raison, cela se produit plusieurs fois par jour. La case réponse valide la première fois après midi.

Bonjour Titoufred

Le temps en minutes est donné par [latex]t=\frac{720k}{143}[/latex] avec [latex]k[/latex] entier naturel .

La première valeur de [latex]t[/latex] après midi correspond à [latex]k=1[/latex] c'est à dire [latex]t=00:05:02[/latex]

Refusé par la case réponse

Vasimolo

Suis-je bête [latex]12:05:02[/latex] est accepté

J'aime bien cette énigme aussi. Je l'aime bien parce qu'il faut être précis dans son raisonnement pour ne pas s'embrouiller. Il se trouve que c'est aussi une condition suffisante pour trouver la réponse

J'appelle t la durée écoulée depuis midi.
Pour une durée t, je note [latex]\theta_h(t)[/latex] l'angle formé par l'aiguille des heures avec la position des aiguilles à midi et [latex]\theta_m(t)[/latex] celui formé par l'aiguille des minutes.

De façon générale, puisque l'aiguille des heures fait le tour du cadran en 12 heures: [latex]\theta_h(t)=2\pi\dfrac{t}{12}[/latex].

Pour l'aiguilles des minutes, une subtilité s'ajoute: elle fait un tour par heure et repart de la position [latex]\theta_m=0[/latex] à chaque heure.

On a donc: [latex]\theta_m(t)=2\pi(t-E(t))[/latex] où E(x) désigne la partie entière de x.

Une fois posé les bonnes notations, le plus dur de l'exercice est fait, il ne reste qu'à conjuguer...

"peu de temps après midi": je prends pour hypothèse que cela veut dire entre midi et une heure. J'appelle t la durée entre midi et cet instant. Mon hypothèse équivaut à E(t)=0. Et donc: [latex]\theta_m(t)=12\theta_h(t)[/latex].

En inversant les aiguilles, on trouve une heure "valide". Soit t' la durée écoulée depuis midi lors de cette heure.
[TeX]\theta_m(t')=\theta_h(t)[/latex] et [latex]\theta_h(t')=\theta_m(t)[/TeX]
Et donc d'après ce qui précède:
[latex]\theta_h(t')=12\theta_m(t')[/latex].

Et d'après les formules ci-dessus, on a:

[latex]12.2\pi(t'-E(t'))=2\pi\dfrac{t'}{12}[/latex].

Ce qui donne: [latex]t'=(1+\dfrac1{143})E(t')[/latex].

On s'aperçoit qu'il y a donc plusieurs solutions.
Regardons la première qui correspond à E(t')=1.

On a alors [latex]t'=1+\dfrac1{143}[/latex], ce qui correspond à 1h00'25''.

Pour trouver l'heure avant transformation, on se sert de l'échange des aiguilles.
La position (précise) de l'aiguille des heures avant transformation (qui nous permet de trouver l'heure) est celle de l'aiguille des minutes après transformation:

[latex]\theta_h(t)=\theta_m(t')[/latex].

Soit: [latex]2\pi\dfrac{t}{12}=2\pi\dfrac{1}{143}[/latex],

Soit: [latex]t=\dfrac{12}{143}[/latex] ce qui correspond à 12h05'02''.

On trouve de même les autres solutions très facilement pour une heure initiale entre midi et une heure:
[latex]\dfrac{24}{143}[/latex] (12:10:04/2:00:50), [latex]\dfrac{36}{143}[/latex] (12:15:06/3:01:16), ...

Voila j'ai essayé de rédiger proprement et précisemment, ce qui était sans doute la partie la plus délicate de l'exercice.
Merci pour cette énigme.