Peut-être que le problème n'avait pas grand intérêt

Mais si on est intéressé on peut jeter un coup d’œil à wiki :http://fr.wikipedia.org/wiki/Quadrilat% … scriptible

Voilà ce que j'ai trouvé:

Spoiler : [Afficher le message] Soit $A$ l'aire recherchée. On note $O$ le centre du cercle circonscrit au quadrilatère $ABCD$, $\theta$ l'angle $\widehat {AOB}$, $I$ le milieu de AB, $x$ la longueur$IO$ et $a, b, c, d$ représentent les longueurs $AB, BC, CD  et  DA$.



On a: $A=A(secteur(A,B))-A(ABO)=\frac12  r^2 \theta - \frac {ax}{2}$

Comme $ABCD$ est un quadrilatère inscriptible, on en déduit le rayon $r$ de son cercle circonscrit:
$$r=\frac14 \sqrt{\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}[/latex] avec [latex]s=\frac {a+b+c+d}{2}$$ $$a=9.85,  b=10,  c=12,  d=8$$
$$s=19.925$$
On obtient:  $r\approx7.119$


Dans le triangle rectangle $AIO$:
$$\sin \frac{\theta}{2}=\frac {AI}{AO}=\frac{a/2}{r}[/latex] d'où [latex]\theta=2\arcsin\frac{a}{2r}$$
d'où $\theta\approx1.528  rad$

On a aussi:
$$AO^2=AI^2+IO^2  donc  x=\sqrt{r^2- \left(\frac{a}{2}\right)^2}$$
d'où $x\approx5.141$

Finalement:

$A=\frac12  r^2 \theta - \frac {ax}{2}\approx13.401$