On inscrit une mise jusqu'a 100 piècanciennes dans les deux cases.

[latex]x[/latex] dans la première case, [latex]100-x[/latex] dans la deuxième.

On élève au carré le montant de la 1ere case.

[latex]x^2[/latex]

On élève au cube le montant de la seconde case.

[latex](100-x)^3[/latex]

On multiplie les 2 produits entre eux si le bulletin est gagnant.

Gain dans ce cas : [latex]G(x) = x^2 (100-x)^3[/latex]

Quelle est la plus grande somme que l'on puisse éspèrer avoir?

Une condition nécessaire pour que [latex]G[/latex] soit maximal est [latex]G'(x) = 0[/latex] soit
[TeX]G = u v[/latex] avec [latex]u(x) = x^2[/latex] et [latex]v(x) = (100-x)^3[/TeX]
Alors [latex]u'(x) = 2 x[/latex] et [latex]v'(x) = -3 (100-x)^2[/latex]
[TeX]G' = u v' + v u'[/latex] soit
[latex]G'(x) = -3 x^2 (100-x)^2 + 2 x (100-x)^3 = x (100-x)^2 (-5x + 200)[/TeX]
On veut donc [latex]x(100-x)^2(-5x+200) = 0[/latex]. Comme [latex]x[/latex] est forcément non nul et différent de [latex]100[/latex] (sinon [latex]G(x) = 0[/latex]), il reste la possibilité [latex]x=40[/latex] qui donne un gain de 345 600 000 pièçanciennes. Si tu préfères parler de gain net, il faut juste retirer les 100 pièces qui ont été misées au départ, mais ce serait chipoter.




Un petit problème rafraîchissant, mais duquel on peut tirer une loi générale...

Soit maintenant une loterie dans laquelle on peut miser N pièces, une des deux parts étant élevée à la puissance a, l'autre à la puissance b, et les deux multipliées ensemble, en cas de gain. Donc [latex]G(x) = x^a (N-x)^b[/latex].
[TeX]G = u v[/latex] avec [latex]u(x) = x^a[/latex] et [latex]v(x) = (N-x)^b[/TeX]
Alors [latex]u'(x) = a x^{a-1}[/latex] et [latex]v'(x) = - b (N-x)^{b-1}[/latex]
[TeX]G' = u v' + v u'[/latex] soit
[latex]G'(x) = - b x^a (N-x)^{b-1} + a x^{a-1} (N-x)^b = x^{a-1} (N-x)^{b-1} (aN-(a+b)x)[/TeX]
Le maximum est donc obtenu avec [latex]x = \frac{a}{a+b} N[/latex], c'est-à-dire en distribuant la mise de départ proportionnellement aux exposants appliquées à chacune de ses parties. C'est ce que nous avons fait dans l'énigme de départ, avec les exposants 2 et 3 (leur somme est donc 5) : 2/5 pour la somme qu'on met au carré, 3/5 pour la somme mise au cube.

On peut démontrer, je pense, qu'il en serait de même avec un partage de la somme en trois parts : c'est juste bien plus fastidieux car cela implique la maximisation d'une fonction à deux variables sur le triangle de coordonnées [latex](x,y)[/latex] telles que [latex]0 \leq x \leq N[/latex] et [latex]0 \leq y \leq N - x[/latex]. J'ai une flemme incroyable

soit a de 0 à 100
le nombre de pieces que l'on peut gagner est [latex]f(a)=a^2(100-a)^3[/latex]
qui admet un maximum en misant 40 pieces sur la premier case et 60 sur la seconde pour ainsi emporter 345 600 000

note:
40 est racine de [latex]f'(a)=a(-5a^3+1200a^2-9*100^2a+2*100^3)[/latex]

Bonjour,

Appelons [latex]n[/latex] le nombre de jetons dans la 2ème case. Comme on ne va pas faire de petites économies, on va placer les [latex]100-n[/latex] jetons restants dans la 1ère case.

Si notre numéro est gagnant, on va donc gagner [latex]G = n^3*(100-n)^2[/latex].
Soit [latex]G=n^3*(n^2-200n+10000)=n^5-200n^4+10000n^3[/latex] (tout ça parce que j'ai la flemme de faire des dérivées composées .

Pour trouver les optimum, il faut dériver la fonction et chercher les points où la dérivée s'annule :
[TeX]5n^4 -800n^3+30000n^2 = 0[/TeX]
Ensuite on cherche les 4 racines (dont 2 sont égales à zéro), puis on prend les entiers les plus proches et on teste chaque gain. Si la fonction est croissante pour n=100, on teste aussi le gain pour n=100.
On ne retient que le gain le plus élevé (n=0, n=100 et n de chaque côté des deux racines de la dérivée), mais j'ai la flemme et je ne crois pas que ce soit une énigme.

CQFT (ce qu'il fallait trouver).
Klim.

lesinge malicieux, la somme des deux nombre est 100

Merci Promath-, j'étais passé à côté de cette condition.

Le meilleur résultat sera obtenu en plaçant 40 piècanciennes sur la première case et 60 sur la seconde (fait avec tableur).

J'imagine que c'est trouvable en dérivant et étudiant la fonction f(x) pour trouver son maximum sur [0;100]
f(x)  =  x^3 * (100-x)²
=  x^3 * (100² - 200x + x²)
=  x^5 - 200 x^4 + 100² x^3

si on prend la fonction f(x)=[latex]x^2(100-x)^3[/latex] on a f'(x)=[latex]2x(100-x)^3-3x^2(100-x)^2=x(100-x)^2(200-5x)[/latex] et donc prendra ses min et son max quand la derivée s'annule c'est à dire pour x=0 ou x=100 ou x=40

si x=0ou x=100 f(x)=0
si x=40 alors f(40)=[latex]40^2 \times 60^3=1600\times216000=345600000[/latex]

cas général
si on prend la fonction f(x)=[latex]x^2(a-x)^3[/latex] on a f'(x)=[latex]2x(a-x)^3-3x^2(a-x)^2=x(a-x)^2(a-5x)[/latex] et donc prendra ses min et son max quand la derivée s'annule c'est à dire pour x=0 ou x=a ou x=[latex]a\over 5[/latex]

donc il faudra prendre la partie entiere de [latex]a\over 5[/latex] ou de [latex]{a\over 5}+1[/latex] pour trouver le max

bon, et pour 200 piecesanciennes

Pour 100 : 345600000 avec 40 et 60.
Pour 200 : 11059200000 avec 80 et 120.

Selon http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%28100-x%29^3 , max{x^2 (100-x)^3} = 345600000  at  x = 40

Pour 200 cases / pièces

x= montant misé sur la première case

G(x) = x² * (200-x)^3 sur l'intervalle [1,199]

G'(x) = (200-x)² * x * (400-5x)

On trouve 80 / 120 pour un gain maximal de 11059200000

A bientôt,

Le meilleur joueur du forum (en toute modestie) a écrit:

qu'il aille se faire pendre par la langue et qu'on lui coupe le bout des doigts pour lui apprendre une certaine humilité

La crevette, c'est un peu comme le ver de terre, ça repousse non?